Номер 4.137, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.137. Основание $BC$ треугольника $ABC$ равно $a$, точки $D$, $E$ делят стороны $AB$ и $BC$ соответственно в отношении $m : n$. Найдите длину $DE$.

В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. Если точка D лежит на стороне AB, а точка E — на стороне BC, то длина отрезка DE зависит не только от длины основания BC ($a$), но и от длины стороны AB и величины угла B. Поскольку эти параметры не заданы, задача в исходной формулировке не имеет однозначного решения.

Вероятнее всего, имелось в виду, что точка E делит сторону AC, а не BC. Ниже приведено решение для этой исправленной и стандартной постановки задачи.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $ADE$.

1. Угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) является общим для обоих треугольников.

2. Согласно условию, точка D делит сторону AB в отношении $m:n$. Будем придерживаться стандартной трактовки, что это означает $AD:DB = m:n$. Из этого соотношения найдем, какую часть составляет отрезок $AD$ от всей стороны $AB$.

$AB = AD + DB$

$\frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AD+DB}$

Если принять $AD = k \cdot m$ и $DB = k \cdot n$ для некоторого коэффициента $k$, то $AB = k(m+n)$. Тогда:

$\frac{AD}{AB} = \frac{km}{k(m+n)} = \frac{m}{m+n}$

3. Аналогично, точка E делит сторону AC в отношении $m:n$, то есть $AE:EC = m:n$. Найдем отношение длины отрезка $AE$ к длине всей стороны $AC$:

$\frac{AE}{AC} = \frac{AE}{AE+EC} = \frac{m}{m+n}$

4. Мы получили, что стороны двух треугольников, прилежащие к общему углу $\angle A$, пропорциональны:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{m}{m+n}$

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle ADE$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.

5. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. В данном случае коэффициент подобия $k_{p}$ равен $\frac{m}{m+n}$. Сторона $DE$ треугольника $\triangle ADE$ соответствует стороне $BC$ треугольника $\triangle ABC$. Значит:

$\frac{DE}{BC} = k_{p} = \frac{m}{m+n}$

6. В условии дано, что длина основания $BC = a$. Подставим это значение в полученное равенство:

$\frac{DE}{a} = \frac{m}{m+n}$

7. Выразим искомую длину отрезка $DE$:

$DE = a \cdot \frac{m}{m+n}$

Ответ: $DE = \frac{am}{m+n}$.