Номер 4.130, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.130. Найдите угол между высотой и медианой, опущенными из прямого угла прямоугольного треугольника. Выразите этот угол через острые углы прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Обозначим его острые углы как $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Известно, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет $90^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Проведем из вершины $C$ на гипотенузу $AB$ высоту $CH$ и медиану $CM$. Искомый угол — это $\angle HCM$.

1. Рассмотрим треугольник $ACH$. Он прямоугольный, так как $CH$ — высота ($\angle AHC = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$. Следовательно, $\angle ACH + \angle CAH = 90^\circ$. Поскольку $\angle CAH = \angle A = \alpha$, получаем $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$. Из соотношения $\alpha + \beta = 90^\circ$ следует, что $90^\circ - \alpha = \beta$. Таким образом, $\angle ACH = \beta$.

2. Теперь рассмотрим медиану $CM$. По свойству медианы, проведенной из вершины прямого угла, ее длина равна половине гипотенузы: $CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$.

3. Так как $CM = AM$, треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ACM = \angle CAM = \angle A = \alpha$.

4. Искомый угол $\angle HCM$ представляет собой разность между углами $\angle ACM$ и $\angle ACH$ (или наоборот, в зависимости от соотношения между $\alpha$ и $\beta$). Для нахождения величины угла, независимо от того, какой из острых углов больше, мы берем модуль их разности.

$\angle HCM = |\angle ACM - \angle ACH| = |\alpha - \beta|$

Таким образом, угол между высотой и медианой, опущенными из прямого угла, равен модулю разности острых углов прямоугольного треугольника.

Ответ: Искомый угол равен $|\alpha - \beta|$, где $\alpha$ и $\beta$ — острые углы прямоугольного треугольника.