Номер 4.124, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.124. Докажите, что середины сторон правильного $n$-угольника являются вершинами другого правильного $n$-угольника.

Для доказательства того, что многоугольник, образованный серединами сторон правильного n-угольника, также является правильным, необходимо показать, что у нового многоугольника все стороны равны и все внутренние углы равны.

Пусть дан правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. Обозначим длину его стороны как $a$, а величину внутреннего угла как $\alpha$. Все стороны и углы исходного многоугольника равны между собой: $A_1A_2 = A_2A_3 = ... = a$ и $\angle A_1A_2A_3 = \angle A_2A_3A_4 = ... = \alpha$.

Пусть $M_1, M_2, ..., M_n$ — середины сторон $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$ соответственно. Нам нужно доказать, что многоугольник $M_1M_2...M_n$ является правильным.

Рассмотрим доказательство на примере правильного шестиугольника, представленного на рисунке ниже. Общий случай доказывается аналогично.

Доказательство равенства сторон

Рассмотрим треугольник $\triangle M_1A_2M_2$. Его вершины — это две середины смежных сторон $M_1, M_2$ и общая вершина исходного многоугольника $A_2$.

По определению, $M_1$ — середина стороны $A_1A_2$, следовательно, длина отрезка $A_2M_1$ равна $a/2$.Аналогично, $M_2$ — середина стороны $A_2A_3$, следовательно, длина отрезка $A_2M_2$ равна $a/2$.Угол $\angle M_1A_2M_2$ совпадает с внутренним углом правильного многоугольника $\angle A_1A_2A_3$ и равен $\alpha$.

Таким образом, $\triangle M_1A_2M_2$ является равнобедренным с боковыми сторонами $A_2M_1 = A_2M_2 = a/2$ и углом $\alpha$ между ними.

Рассмотрим следующий аналогичный треугольник $\triangle M_2A_3M_3$. Его стороны $A_3M_2$ и $A_3M_3$ также равны $a/2$, а угол между ними $\angle M_2A_3M_3$ равен $\alpha$. Следовательно, треугольник $\triangle M_2A_3M_3$ конгруэнтен треугольнику $\triangle M_1A_2M_2$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Это рассуждение применимо ко всем треугольникам вида $\triangle M_iA_{i+1}M_{i+1}$ (где $A_{n+1} = A_1$ и $M_{n+1} = M_1$). Все они конгруэнтны друг другу.

Основания этих треугольников ($M_1M_2, M_2M_3, ...$) являются сторонами нового многоугольника $M_1M_2...M_n$. Так как все треугольники конгруэнтны, их основания также равны между собой: $M_1M_2 = M_2M_3 = ... = M_nA_1$.Таким образом, все стороны многоугольника $M_1M_2...M_n$ равны.

Доказательство равенства углов

Для доказательства равенства углов воспользуемся свойствами симметрии правильного n-угольника.Любой правильный n-угольник имеет центр rotational symmetry $O$. Поворот вокруг этого центра на угол $\theta = 360^\circ/n$ совмещает многоугольник сам с собой.

При таком повороте каждая вершина $A_i$ переходит в следующую вершину $A_{i+1}$, а каждая сторона $A_iA_{i+1}$ переходит в следующую сторону $A_{i+1}A_{i+2}$.

Поворот является движением, а значит, он сохраняет расстояния и переводит середину отрезка в середину образа этого отрезка. Следовательно, середина $M_i$ стороны $A_iA_{i+1}$ при повороте на угол $\theta$ перейдет в середину $M_{i+1}$ стороны $A_{i+1}A_{i+2}$.

Это означает, что вся совокупность вершин $\{M_1, M_2, ..., M_n\}$ нового многоугольника переходит сама в себя при повороте на угол $\theta = 360^\circ/n$.

Поскольку поворот сохраняет углы, внутренний угол $\angle M_{i-1}M_iM_{i+1}$ при повороте перейдет в угол $\angle M_iM_{i+1}M_{i+2}$. Отсюда следует, что все внутренние углы многоугольника $M_1M_2...M_n$ равны между собой.

Заключение

Мы доказали, что у многоугольника $M_1M_2...M_n$, образованного серединами сторон правильного n-угольника, все стороны равны и все внутренние углы равны. По определению, такой многоугольник является правильным.

Ответ: Утверждение, что середины сторон правильного n-угольника являются вершинами другого правильного n-угольника, доказано.