Номер 4.117, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.117. Через середины смежных сторон квадрата, вписанного в окружность радиусом $R$, проведена хорда. Найдите длину этой хорды, если:

1) $R=2$ см;

2) $R=3$ см.

Пусть в окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ вписан квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата являются диаметрами окружности, поэтому длина диагонали, например $AC$, равна $2R$.

Хорда, о которой говорится в задаче, проходит через середины двух смежных сторон квадрата. Возьмем смежные стороны $AB$ и $BC$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $BC$. Тогда искомая хорда — это отрезок $MN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, угол $\angle B$ прямой, то есть $\angle B = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ этого треугольника. Следовательно, $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. В нашем случае, $MN$ параллельна гипотенузе $AC$ и её длина равна:

$MN = \frac{1}{2} AC$

Гипотенуза $AC$ является диагональю квадрата, которая, как мы установили ранее, равна диаметру описанной окружности.

$AC = 2R$

Подставим это значение в формулу для длины $MN$:

$MN = \frac{1}{2} (2R) = R$

Таким образом, длина искомой хорды равна радиусу окружности. Теперь найдем её длину для каждого из случаев.

1) Если $R = 2$ см, то длина хорды $MN = R = 2$ см.
Ответ: 2 см.

2) Если $R = 3$ см, то длина хорды $MN = R = 3$ см.
Ответ: 3 см.