Номер 4.116, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.116. Выразите наименьшую диагональ правильного $n$-угольника через его сторону $a_n$:

1) $a_n=1 \text{ см}, n=5$;

2) $a_n=5 \text{ см}, n=6$.

Наименьшая диагональ правильного $n$-угольника соединяет две вершины через одну. Рассмотрим треугольник, образованный двумя смежными сторонами $a_n$ и наименьшей диагональю $d$. Угол между сторонами является внутренним углом правильного $n$-угольника и равен $\alpha = \frac{(n-2)\pi}{n}$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$d^2 = a_n^2 + a_n^2 - 2 \cdot a_n \cdot a_n \cdot \cos(\alpha) = 2a_n^2 \left(1 - \cos\left(\frac{(n-2)\pi}{n}\right)\right)$

Используя формулу приведения $\cos\left(\frac{(n-2)\pi}{n}\right) = \cos\left(\pi - \frac{2\pi}{n}\right) = -\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)$, получаем:

$d^2 = 2a_n^2 \left(1 + \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)$

Применяя формулу косинуса двойного угла $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$, имеем:

$d^2 = 2a_n^2 \left(2\cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) = 4a_n^2 \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Отсюда формула для наименьшей диагонали $d$:

$d = 2a_n \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

1) $a_n=1$ см, $n=5$

Для правильного пятиугольника ($n=5$) со стороной $a_5 = 1$ см, подставляем значения в общую формулу:

$d = 2 \cdot a_5 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) = 2 \cdot 1 \cdot \cos(36^\circ)$

Значение косинуса $36^\circ$ является известной величиной, связанной с золотым сечением: $\cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$.

Тогда наименьшая (и единственная) диагональ пятиугольника равна:

$d = 2 \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{4} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ см.

Ответ: $d = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ см.

2) $a_n=5$ см, $n=6$

Для правильного шестиугольника ($n=6$) со стороной $a_6 = 5$ см, подставляем значения в общую формулу:

$d = 2 \cdot a_6 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot 5 \cdot \cos(30^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда наименьшая диагональ шестиугольника равна:

$d = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: $d = 5\sqrt{3}$ см.