Номер 4.111, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.111. Сторона вписанного в окружность треугольника равна $a$. Найдите сторону вписанного в эту окружность квадрата.

Поскольку в условии задачи не указан тип вписанного треугольника, для однозначности решения будем считать, что это правильный (равносторонний) треугольник. Для произвольного треугольника задача не имеет единственного решения, так как радиус описанной окружности зависит не только от длины одной стороны, но и от противолежащего ей угла.

Пусть $a$ — сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, а $R$ — радиус этой окружности. Связь между стороной правильного вписанного n-угольника $a_n$ и радиусом описанной окружности $R$ дается общей формулой $a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$.

Для правильного треугольника ($n=3$):
$a = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.
Из этой формулы выразим радиус окружности $R$ через сторону треугольника $a$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем сторону $b$ квадрата, вписанного в ту же окружность радиуса $R$. Для квадрата ($n=4$):
$b = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \sin(45^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$.

Для наглядности представим эти фигуры на рисунке, где синим цветом обозначен треугольник со стороной $a$, а красным — квадрат со стороной $b$. Обе фигуры вписаны в одну и ту же окружность радиуса $R$ (показан зеленой пунктирной линией).

Теперь подставим выражение для радиуса $R$, которое мы нашли из данных о треугольнике, в формулу для стороны квадрата $b$:
$b = R\sqrt{2} = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \cdot \sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Чтобы упростить выражение и избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$b = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: Сторона вписанного в эту окружность квадрата равна $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.