Номер 4.104, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.104. Докажите, что любой правильный многоугольник является квадратом.

4.104. Утверждение, что любой правильный многоугольник является квадратом, является ложным. В математике, чтобы опровергнуть утверждение, которое претендует на всеобщность (для "любого" объекта), достаточно привести хотя бы один контрпример. Ниже представлено развернутое доказательство ложности этого утверждения.

Для начала дадим определения:

1. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны.

2. Квадрат — это правильный четырёхугольник, то есть многоугольник, у которого 4 равные стороны и 4 равных угла, каждый по $90^\circ$.

Из этих определений следует, что квадрат является частным случаем правильного многоугольника, а именно тем, у которого число сторон $n=4$. Утверждение в задаче предполагает, что других правильных многоугольников, кроме квадрата, не существует, что неверно.

Опровержение с помощью контрпримеров

Рассмотрим правильный треугольник (равносторонний треугольник). Это правильный многоугольник, так как у него 3 равные стороны и 3 равных угла. Величина каждого угла в равностороннем треугольнике составляет $60^\circ$. Поскольку у него 3 стороны (а не 4) и углы равны $60^\circ$ (а не $90^\circ$), он не является квадратом.

Рассмотрим правильный пятиугольник. Это правильный многоугольник с 5 равными сторонами и 5 равными углами. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для правильного пятиугольника ($n=5$):

$\alpha = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$.

Так как у правильного пятиугольника 5 сторон и углы по $108^\circ$, он не является квадратом.

Алгебраическое доказательство

Чтобы правильный n-угольник был квадратом, он должен одновременно удовлетворять двум условиям: число сторон $n$ должно быть равно 4, и величина внутреннего угла $\alpha$ должна быть равна $90^\circ$. Проверим, для каких правильных многоугольников величина внутреннего угла составляет $90^\circ$.

Приравняем формулу угла к $90^\circ$ и решим уравнение относительно $n$:

$\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = 90^\circ$

Для $n \ge 3$, мы можем умножить обе части на $n$:

$(n-2) \cdot 180 = 90n$

$180n - 360 = 90n$

$180n - 90n = 360$

$90n = 360$

$n = 4$

Это вычисление строго доказывает, что единственным правильным многоугольником, у которого внутренние углы равны $90^\circ$, является многоугольник с четырьмя сторонами, то есть квадрат. Следовательно, любой правильный многоугольник, у которого число сторон не равно четырем, не может быть квадратом.

Ответ: Утверждение неверно. Правильный многоугольник является квадратом только в том случае, если у него четыре стороны. Существуют другие правильные многоугольники (например, равносторонний треугольник, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т.д.), которые не являются квадратами, так как у них иное число сторон и другая величина внутренних углов.