Номер 4.101, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.101. Чему равна сумма внешних углов правильного $n$-угольника?

Для нахождения суммы внешних углов правильного $n$-угольника воспользуемся свойствами его углов.

Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника определяется по формуле: $S_{вн} = (n-2) \cdot 180^\circ$

Поскольку $n$-угольник является правильным, все его $n$ внутренних углов равны между собой. Величина одного внутреннего угла $\alpha$ равна: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Внешний угол многоугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом при этой вершине. Если внутренний угол равен $\alpha$, а соответствующий ему внешний угол равен $\beta$, то их сумма составляет $180^\circ$: $\alpha + \beta = 180^\circ$

Из этого соотношения можно выразить величину одного внешнего угла правильного $n$-угольника: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Приводя к общему знаменателю, получаем: $\beta = \frac{n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ}{n} = \frac{180^\circ n - 180^\circ n + 360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{n}$

У правильного $n$-угольника $n$ вершин, и все его внешние углы равны между собой. Чтобы найти сумму всех внешних углов $S_{внешн}$, нужно умножить величину одного внешнего угла $\beta$ на количество углов (вершин) $n$: $S_{внешн} = n \cdot \beta = n \cdot \frac{360^\circ}{n} = 360^\circ$

Таким образом, сумма внешних углов правильного $n$-угольника не зависит от количества его сторон $n$ и всегда равна $360^\circ$. Этот результат справедлив для любого выпуклого многоугольника.

Ответ: $360^\circ$.