Номер 4.98, страница 149 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.98. Окружность проведена так, что сторона $AB$ треугольника $ABC$ является ее диаметром. Докажите, что если:

1) точка C лежит вне окружности, то $\angle C$ острый;

2) точка C лежит на окружности, то $\angle C$ прямой;

3) точка C лежит внутри окружности, то $\angle C$ тупой.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ является диаметром этой окружности. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AB$, и справедливы равенства $AO = BO = R$ и $AB = 2R$.

Для доказательства утверждений воспользуемся связью между сторонами и углами в треугольнике $ABC$. Проведем медиану $CO$ из вершины $C$ к стороне $AB$.

Применим теорему Аполлония к треугольнику $ABC$ и медиане $CO$. Теорема гласит, что сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенной сумме квадратов половины третьей стороны и медианы, проведенной к ней: $AC^2 + BC^2 = 2(AO^2 + CO^2)$. Поскольку $AO = R$, получаем: $AC^2 + BC^2 = 2(R^2 + CO^2)$.

Теперь применим теорему косинусов для того же треугольника $ABC$ относительно угла $C$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$.

Подставим выражение для $AC^2 + BC^2$ из первого уравнения во второе: $(2R)^2 = 2(R^2 + CO^2) - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$.

Упростим полученное выражение: $4R^2 = 2R^2 + 2CO^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$ $4R^2 - 2R^2 - 2CO^2 = -2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$ $2R^2 - 2CO^2 = -2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$.

Разделим обе части уравнения на $-2$: $CO^2 - R^2 = AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$.

Так как $AC$ и $BC$ — это длины сторон треугольника, их произведение $AC \cdot BC$ является положительной величиной. Следовательно, знак $\cos(\angle C)$ определяется знаком выражения $CO^2 - R^2$. Это ключевое соотношение позволяет нам доказать все три утверждения, анализируя положение точки $C$ относительно окружности.

1) точка С лежит вне окружности, то ∠C острый

Если точка $C$ лежит вне окружности, то расстояние от нее до центра $O$ больше радиуса $R$, то есть $CO > R$. Следовательно, $CO^2 > R^2$, и разность $CO^2 - R^2$ положительна.

Из нашего ключевого соотношения $CO^2 - R^2 = AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$ следует, что $\cos(\angle C)$ также должен быть положительным. Косинус угла в треугольнике (от $0^\circ$ до $180^\circ$) положителен только тогда, когда угол острый (меньше $90^\circ$). Таким образом, $\angle C$ — острый.

Ответ: Утверждение доказано. Если точка С лежит вне окружности, то $\angle C$ острый.

2) точка С лежит на окружности, то ∠C прямой

Если точка $C$ лежит на окружности, то расстояние от нее до центра $O$ равно радиусу $R$, то есть $CO = R$. Следовательно, $CO^2 = R^2$, и разность $CO^2 - R^2$ равна нулю.

Из соотношения $CO^2 - R^2 = AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$ следует, что $\cos(\angle C)$ должен быть равен нулю. Косинус угла в треугольнике равен нулю только тогда, когда угол прямой, то есть равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle C$ — прямой. Это также известная теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр.

Ответ: Утверждение доказано. Если точка С лежит на окружности, то $\angle C$ прямой.

3) точка С лежит внутри окружности, то ∠C тупой

Если точка $C$ лежит внутри окружности, то расстояние от нее до центра $O$ меньше радиуса $R$, то есть $CO < R$. Следовательно, $CO^2 < R^2$, и разность $CO^2 - R^2$ отрицательна.

Из соотношения $CO^2 - R^2 = AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$ следует, что $\cos(\angle C)$ также должен быть отрицательным. Косинус угла в треугольнике отрицателен только тогда, когда угол тупой (больше $90^\circ$). Таким образом, $\angle C$ — тупой.

Ответ: Утверждение доказано. Если точка С лежит внутри окружности, то $\angle C$ тупой.