Номер 4.92, страница 149 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.92. Из одной точки к окружности проведены касательная и секущая. Внешний отрезок секущей в $\frac{5}{4}$ раза длиннее ее внутреннего отрезка. Во сколько раз секущая длиннее касательной?

Для решения этой задачи используется теорема о касательной и секущей, которые проведены из одной точки к окружности. Эта теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешний отрезок.

Представим задачу наглядно с помощью рисунка:

Пусть из точки $P$ проведены касательная $PT$ (где $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ находится между $P$ и $B$). Тогда $PT$ — это длина касательной, $PA$ — внешний отрезок секущей, $AB$ — внутренний отрезок секущей, а $PB$ — длина всей секущей.

Согласно теореме о касательной и секущей, справедливо равенство: $PT^2 = PA \cdot PB$.

По условию задачи, внешний отрезок секущей в $\frac{5}{4}$ раза длиннее ее внутреннего отрезка, то есть $PA = \frac{5}{4} AB$.

Обозначим длину внутреннего отрезка $AB$ переменной $x$, то есть $AB = x$.

Тогда длина внешнего отрезка секущей будет $PA = \frac{5}{4}x$.

Длина всей секущей $PB$ равна сумме длин ее внешнего и внутреннего отрезков:$PB = PA + AB = \frac{5}{4}x + x = (\frac{5}{4} + \frac{4}{4})x = \frac{9}{4}x$.

Теперь, используя теорему, мы можем найти квадрат длины касательной $PT$:

$PT^2 = PA \cdot PB = \left(\frac{5}{4}x\right) \cdot \left(\frac{9}{4}x\right) = \frac{45}{16}x^2$.

Найдем длину касательной $PT$, извлекая квадратный корень:

$PT = \sqrt{\frac{45}{16}x^2} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{16}}x = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{4}x = \frac{3\sqrt{5}}{4}x$.

Чтобы определить, во сколько раз секущая длиннее касательной, необходимо найти отношение их длин, то есть $\frac{PB}{PT}$:

$\frac{PB}{PT} = \frac{\frac{9}{4}x}{\frac{3\sqrt{5}}{4}x}$.

Сократив $x$ и $\frac{1}{4}$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{PB}{PT} = \frac{9}{3\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$:

$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: Секущая длиннее касательной в $\frac{3\sqrt{5}}{5}$ раз.