Номер 4.93, страница 149 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.93. Докажите, что центр вписанной в треугольник окружности лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$, противолежащими вершинам $A, B, C$ соответственно. Пусть $I$ — центр вписанной окружности (инцентр) этого треугольника. Точки $D, E, F$ — середины сторон $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Треугольник $DEF$, образованный средними линиями, называется срединным треугольником. Нам нужно доказать, что точка $I$ лежит внутри треугольника $DEF$.

Точка лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда она находится по ту же сторону от каждой из прямых, содержащих стороны треугольника, что и противолежащая вершина. Таким образом, нам необходимо доказать, что точка $I$ и вершина $F$ лежат по одну сторону от прямой $DE$; точка $I$ и вершина $D$ лежат по одну сторону от прямой $EF$; и точка $I$ и вершина $E$ лежат по одну сторону от прямой $FD$.

Рассмотрим прямую $DE$. Так как $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$, она параллельна стороне $AB$. Пусть $h_c$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$. Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DE$ равно $\frac{h_c}{2}$.

Центр вписанной окружности $I$ равноудален от всех сторон треугольника $ABC$. Это расстояние равно радиусу вписанной окружности $r$. В частности, расстояние от точки $I$ до стороны $AB$ равно $r$.

Точка $F$ (середина $AB$) лежит на прямой $AB$. Чтобы доказать, что точка $I$ лежит по ту же сторону от прямой $DE$, что и точка $F$, достаточно показать, что точка $I$ лежит между параллельными прямыми $AB$ и $DE$. Это будет выполняться, если расстояние от $I$ до $AB$ меньше расстояния от $DE$ до $AB$. То есть, нам нужно доказать неравенство: $r < \frac{h_c}{2}$.

Выразим площадь треугольника $ABC$, которую обозначим $S$, двумя способами: через радиус вписанной окружности $S = p \cdot r$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр, и через высоту $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$. Из этих формул мы можем выразить радиус $r$: $r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} c \cdot h_c}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{c \cdot h_c}{a+b+c}$.

Теперь докажем неравенство $r < \frac{h_c}{2}$:

$\frac{c \cdot h_c}{a+b+c} < \frac{h_c}{2}$

Поскольку $h_c > 0$ для невырожденного треугольника, мы можем разделить обе части на $h_c$:

$\frac{c}{a+b+c} < \frac{1}{2}$

Умножим обе части на $2(a+b+c)$, что является положительным числом:

$2c < a+b+c$

$c < a+b$

Это неравенство треугольника, и оно всегда истинно для любого невырожденного треугольника. Следовательно, исходное неравенство $r < \frac{h_c}{2}$ также истинно. Это означает, что точка $I$ и вершина $F$ лежат по одну сторону от прямой $DE$.

Аналогичные рассуждения верны и для двух других сторон срединного треугольника. Для стороны $EF$, параллельной $BC$, доказывается, что $r < \frac{h_a}{2}$ (что следует из неравенства треугольника $a < b+c$), а значит, $I$ и $D$ лежат по одну сторону от $EF$. Для стороны $FD$, параллельной $AC$, доказывается, что $r < \frac{h_b}{2}$ (из неравенства $b < a+c$), а значит, $I$ и $E$ лежат по одну сторону от $FD$.

Поскольку точка $I$ находится с нужной стороны от каждой из трех прямых, образующих срединный треугольник $DEF$, она лежит внутри этого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.