Номер 4.97, страница 149 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.97. Докажите, что если прямая, соединяющая середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, проходит через точку пересечения двух других сторон, то этот четырехугольник является трапецией.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. По условию, прямые, содержащие две другие стороны $AD$ и $BC$, пересекаются в некоторой точке $P$. Также по условию, прямая $MN$ проходит через точку $P$, то есть точки $P$, $M$, $N$ лежат на одной прямой. Требуется доказать, что $ABCD$ — трапеция.

Поскольку стороны $AD$ и $BC$ пересекаются, они не параллельны. Следовательно, чтобы доказать, что $ABCD$ является трапецией, нам нужно доказать, что две другие стороны, $AB$ и $CD$, параллельны ($AB \parallel CD$).

Воспользуемся методом векторов. Выберем точку $P$ в качестве начала координат, то есть $\vec{P} = \vec{0}$.

Так как точки $P, A, D$ лежат на одной прямой, вектор $\vec{PA}$ коллинеарен вектору $\vec{PD}$. Это означает, что существует такое число $k_1$, что $\vec{PA} = k_1 \vec{PD}$. Поскольку четырехугольник $ABCD$ выпуклый, точка $A$ лежит на отрезке $PD$ (если $P$ находится "за" стороной $AD$), следовательно $0 < k_1 < 1$.

Аналогично, так как точки $P, B, C$ лежат на одной прямой, вектор $\vec{PB}$ коллинеарен вектору $\vec{PC}$. Это означает, что существует такое число $k_2$, что $\vec{PB} = k_2 \vec{PC}$. Поскольку четырехугольник $ABCD$ выпуклый, точка $B$ лежит на отрезке $PC$, следовательно $0 < k_2 < 1$.

Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Ее радиус-вектор можно выразить как полусумму радиус-векторов ее концов:
$\vec{PM} = \frac{1}{2}(\vec{PA} + \vec{PB}) = \frac{1}{2}(k_1 \vec{PD} + k_2 \vec{PC})$.

Точка $N$ — середина отрезка $CD$. Ее радиус-вектор:
$\vec{PN} = \frac{1}{2}(\vec{PD} + \vec{PC})$.

По условию задачи, точки $P, M, N$ лежат на одной прямой. Так как $P$ — начало координат, это означает, что векторы $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$ коллинеарны. Следовательно, существует такое число $\lambda$, что $\vec{PM} = \lambda \vec{PN}$.

Подставим выражения для векторов $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$:
$\frac{1}{2}(k_1 \vec{PD} + k_2 \vec{PC}) = \lambda \cdot \frac{1}{2}(\vec{PD} + \vec{PC})$
$k_1 \vec{PD} + k_2 \vec{PC} = \lambda \vec{PD} + \lambda \vec{PC}$
$(k_1 - \lambda)\vec{PD} + (k_2 - \lambda)\vec{PC} = \vec{0}$.

Поскольку точка $P$ является точкой пересечения прямых $AD$ и $BC$, векторы $\vec{PD}$ и $\vec{PC}$ не коллинеарны (линейно независимы). Равенство нулю их линейной комбинации возможно только в том случае, если коэффициенты при них равны нулю:
$k_1 - \lambda = 0 \implies k_1 = \lambda$
$k_2 - \lambda = 0 \implies k_2 = \lambda$
Отсюда следует, что $k_1 = k_2$.

Итак, мы получили, что $\frac{PA}{PD} = \frac{PB}{PC} = k_1 = k_2$. Рассмотрим треугольники $\triangle PAB$ и $\triangle PDC$. У них общий угол $\angle P$ (или $\angle APB = \angle DPC$). Стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны: $\frac{PA}{PD} = \frac{PB}{PC}$. Следовательно, по признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle PAB \sim \triangle PDC$.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle PAB = \angle PDC$. Эти углы являются соответственными при прямых $AB$ и $DC$ и секущей $PD$. Так как они равны, прямые $AB$ и $DC$ параллельны.

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ две стороны ($AB$ и $DC$) параллельны, а две другие ($AD$ и $BC$) не параллельны, он является трапецией. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.