Номер 4.95, страница 149 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.95. Докажите, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжения боковых сторон.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Пусть $M$ – середина меньшего основания $BC$, а $N$ – середина большего основания $AD$. Боковые стороны $AB$ и $CD$ не параллельны, поэтому их продолжения пересекаются в некоторой точке $P$. Требуется доказать, что точки $P$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

Доказательство

Доказательство можно провести, используя свойство подобных треугольников или гомотетии. Приведем доказательство с использованием гомотетии, так как оно более краткое и изящное.

1. Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, а боковые стороны $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$. Это следует из того, что $\angle APD$ является общим для обоих треугольников, а углы $\angle PBC$ и $\angle PAD$ равны как соответственные при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущей $AP$.

2. Подобие треугольников $\triangle PBC$ и $\triangle PAD$ означает, что существует гомотетия (преобразование подобия) с центром в точке $P$, которая переводит треугольник $PBC$ в треугольник $PAD$.

3. При этой гомотетии точка $B$ переходит в точку $A$, а точка $C$ – в точку $D$. Следовательно, отрезок $BC$ переходит в отрезок $AD$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению длин соответствующих сторон: $k = \frac{PA}{PB} = \frac{PD}{PC} = \frac{AD}{BC}$.

4. Одним из ключевых свойств гомотетии является то, что она переводит середину отрезка в середину его образа. Точка $M$ является серединой отрезка $BC$. Ее образом при данной гомотетии будет середина отрезка-$образа$ $AD$.

5. Серединой отрезка $AD$ является точка $N$. Таким образом, гомотетия с центром в $P$ переводит точку $M$ в точку $N$.

6. По определению гомотетии, центр гомотетии (точка $P$), любая точка (в нашем случае $M$) и ее образ (точка $N$) лежат на одной прямой.

Следовательно, точки $P$, $M$ и $N$ коллинеарны, что и означает, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции ($MN$), проходит через точку пересечения продолжения боковых сторон ($P$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, действительно проходит через точку пересечения продолжения ее боковых сторон. Это свойство является одним из замечательных свойств трапеции.