Номер 4.89, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.89. Докажите, что если две медианы треугольника равны, то он равнобедренный.

Дано:
Треугольник $ABC$.
$AE$ и $BD$ — медианы треугольника $ABC$.
$AE = BD$.

Доказать:
Треугольник $ABC$ — равнобедренный, то есть $AC = BC$.

Доказательство:
Медианы $AE$ и $BD$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. По свойству медиан, точка их пересечения (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Таким образом, для медианы $AE$ справедливо соотношение:
$AO = \frac{2}{3}AE$ и $OE = \frac{1}{3}AE$.
Аналогично для медианы $BD$:
$BO = \frac{2}{3}BD$ и $OD = \frac{1}{3}BD$.

По условию задачи, длины медиан равны: $AE = BD$.
Из этого следует, что их соответствующие части также равны:
$AO = \frac{2}{3}AE = \frac{2}{3}BD = BO$.
$OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}BD = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOE$. В этих треугольниках:
1. $AO = BO$ (как доказано выше).
2. $OD = OE$ (как доказано выше).
3. $\angle AOD = \angle BOE$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ равен треугольнику $\triangle BOE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AD = BE$.

По определению медианы, точка $D$ является серединой стороны $AC$, а точка $E$ — серединой стороны $BC$. Это означает, что:
$AD = \frac{1}{2}AC$
$BE = \frac{1}{2}BC$

Поскольку мы доказали, что $AD = BE$, то можем записать:
$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BC$
Отсюда следует, что $AC = BC$.

Так как две стороны треугольника $ABC$ равны, то по определению он является равнобедренным.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник, у которого две медианы равны, является равнобедренным.