Номер 4.85, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.85. Биссектрисы $AD$ и $BK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Чему равно отношение $OK:OB$, если $AB=5$ см, $BC=3$ см, $AC=7$ см?

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $BK$ является биссектрисой угла $B$, по свойству биссектрисы угла треугольника она делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки $AK$ и $KC$, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $BC$.

Таким образом, мы можем записать соотношение:$$ \frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} $$Подставив известные значения $AB = 5$ см и $BC = 3$ см, получаем:$$ \frac{AK}{KC} = \frac{5}{3} $$Точка $K$ лежит на стороне $AC$, поэтому сумма длин отрезков $AK$ и $KC$ равна длине стороны $AC$:$$ AK + KC = AC = 7 \text{ см} $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$$ \begin{cases} \frac{AK}{KC} = \frac{5}{3} \\ AK + KC = 7 \end{cases} $$Из первого уравнения можно выразить $KC$ через $AK$: $KC = \frac{3}{5}AK$. Подставим это выражение во второе уравнение:$$ AK + \frac{3}{5}AK = 7 $$$$ \frac{5AK + 3AK}{5} = 7 $$$$ \frac{8}{5}AK = 7 $$Отсюда находим длину отрезка $AK$:$$ AK = 7 \cdot \frac{5}{8} = \frac{35}{8} \text{ см} $$

Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Отрезок $AO$ является частью биссектрисы $AD$ угла $A$ треугольника $ABC$, поэтому $AO$ — это биссектриса угла $BAK$ в треугольнике $ABK$.

Снова применим свойство биссектрисы угла, но уже для треугольника $ABK$ и биссектрисы $AO$. Она делит противолежащую сторону $BK$ на отрезки $OK$ и $OB$, пропорциональные прилежащим сторонам $AK$ и $AB$:$$ \frac{OK}{OB} = \frac{AK}{AB} $$Подставим найденное значение $AK = \frac{35}{8}$ см и известное значение $AB = 5$ см в это соотношение:$$ \frac{OK}{OB} = \frac{\frac{35}{8}}{5} = \frac{35}{8 \cdot 5} = \frac{35}{40} = \frac{7}{8} $$Следовательно, искомое отношение $OK:OB$ равно $7:8$.

Для наглядности приведем схематический рисунок:

Ответ: $7:8$.