Номер 4.86, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.86. Постройте окружность, касающуюся двух данных прямых и проходящую через данную точку.

Задача состоит в построении окружности, которая касается двух заданных прямых, $l_1$ и $l_2$, и проходит через заданную точку $M$. Решение задачи зависит от взаимного расположения прямых $l_1$ и $l_2$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Данные прямые пересекаются

Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $S$.

Анализ:

Центр $O$ любой окружности, касающейся двух пересекающихся прямых, должен быть равноудален от этих прямых. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, являются биссектрисы углов, образованных этими прямыми. Пусть это будут биссектрисы $b_1$ и $b_2$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ лежит на одной из этих биссектрис. Кроме того, окружность должна проходить через точку $M$. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $M$ равно радиусу окружности $R$, то есть $OM = R$. Также, поскольку окружность касается прямой $l_1$ (и $l_2$), расстояние от центра $O$ до прямой $l_1$ также равно радиусу $R$.

Следовательно, задача сводится к нахождению на биссектрисе $b_1$ (или $b_2$) такой точки $O$, что $OM = \text{dist}(O, l_1)$.

Эту задачу удобно решать методом гомотетии (подобия).

Построение:

1. Находим точку пересечения $S$ прямых $l_1$ и $l_2$. 2. Строим биссектрисы $b_1$ и $b_2$ углов, образованных прямыми $l_1$ и $l_2$. 3. Выберем одну из биссектрис, например, $b_1$. 4. На биссектрисе $b_1$ выберем произвольную точку $O'$ и построим вспомогательную окружность $\omega'$, касающуюся прямых $l_1$ и $l_2$. Для этого из точки $O'$ опустим перпендикуляр на прямую $l_1$, получим точку $H'$. Радиус этой окружности будет равен $O'H'$. 5. Проведем прямую через точку пересечения прямых $S$ и данную точку $M$. 6. Эта прямая $SM$ пересечет вспомогательную окружность $\omega'$ в двух точках (если $M$ не совпадает с $S$) — назовем их $M'_1$ и $M'_2$. 7. Искомая окружность $\omega$ гомотетична окружности $\omega'$ с центром гомотетии в точке $S$. Точка $M$ на искомой окружности соответствует одной из точек $M'_1$ или $M'_2$ на вспомогательной. 8. Через точку $M$ проведем прямую, параллельную отрезку $O'M'_1$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $b_1$ и будет центром первой искомой окружности $O_1$. 9. Аналогично, через точку $M$ проведем прямую, параллельную отрезку $O'M'_2$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $b_1$ даст центр второй искомой окружности $O_2$. 10. Радиусами искомых окружностей будут соответственно отрезки $O_1M$ и $O_2M$. 11. Повторив шаги 4-10 для второй биссектрисы $b_2$, можно найти еще до двух решений.

В зависимости от положения точки $M$ задача может иметь до четырех решений.

Ответ: Центр искомой окружности лежит на одной из биссектрис углов, образованных данными прямыми. Построение выполняется методом гомотетии: строится вспомогательная окружность, касающаяся данных прямых, а затем с помощью гомотетии с центром в точке пересечения прямых находится искомая окружность, проходящая через данную точку $M$.

Случай 2: Данные прямые параллельны

Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны.

Анализ:

Центр $O$ любой окружности, касающейся двух параллельных прямых, должен быть равноудален от них. Геометрическим местом таких точек является прямая $m$, параллельная $l_1$ и $l_2$ и проходящая посередине между ними (средняя линия).

Радиус $R$ такой окружности однозначно определен и равен половине расстояния между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Так как искомая окружность должна проходить через точку $M$, то расстояние от ее центра $O$ до точки $M$ должно быть равно радиусу $R$, то есть $OM = R$.

Таким образом, задача сводится к нахождению на прямой $m$ точек $O$, удаленных от данной точки $M$ на известное расстояние $R$. Таких точек может быть ноль, одна или две.

Построение:

1. Проводим прямую, перпендикулярную $l_1$ и $l_2$, и находим точки их пересечения $H_1$ и $H_2$. 2. Находим середину отрезка $H_1H_2$. Через эту точку проводим прямую $m$, параллельную $l_1$. Это и будет средняя линия. 3. Измеряем расстояние $R$, равное половине длины отрезка $H_1H_2$. 4. Строим окружность с центром в точке $M$ и радиусом $R$. 5. Точки пересечения этой окружности с прямой $m$ (если они существуют) являются центрами искомых окружностей $O_1$ и $O_2$. 6. Строим окружности с центрами в $O_1, O_2$ и радиусом $R$.

Количество решений зависит от положения точки $M$:

• Если точка $M$ находится между прямыми $l_1$ и $l_2$, то окружность с центром в $M$ и радиусом $R$ пересечет среднюю линию $m$ в двух точках. Два решения.
• Если точка $M$ лежит на одной из прямых $l_1$ или $l_2$, то окружность коснется средней линии $m$ в одной точке. Одно решение.
• Если точка $M$ находится вне полосы, образованной прямыми $l_1$ и $l_2$, то расстояние от $M$ до средней линии $m$ будет больше, чем $R$. Пересечений не будет. Нет решений.

Ответ: Центр искомой окружности лежит на средней линии, параллельной данным прямым. Радиус окружности равен половине расстояния между прямыми. Центры находятся как точки пересечения средней линии с окружностью, построенной из точки $M$ с этим радиусом. В зависимости от положения $M$ может быть два, одно или ни одного решения.