Номер 4.87, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.87. Докажите, что если биссектриса треугольника делит его на два треугольника с равными периметрами, то этот треугольник равнобедренный.

4.87. Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Биссектриса делит исходный треугольник на два меньших треугольника: $△ABD$ и $△CBD$.

Обозначим длины сторон треугольника $ABC$ как $AB = c$ и $BC = a$. Длину биссектрисы обозначим как $BD = l$. Точка $D$ делит сторону $AC$ на два отрезка: $AD$ и $CD$.

По условию задачи периметры треугольников $△ABD$ и $△CBD$ равны. Запишем это равенство:

$P_{△ABD} = P_{△CBD}$

$AB + AD + BD = BC + CD + BD$

Подставим наши обозначения:

$c + AD + l = a + CD + l$

Вычитая $l$ из обеих частей равенства, получаем:

$c + AD = a + CD$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы выразить разность отрезков $AD$ и $CD$:

$AD - CD = a - c$ (1)

Далее воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Оно гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}$ (2)

Из уравнения (2) выразим $AD$:

$AD = \frac{c}{a} \cdot CD$

Теперь подставим это выражение для $AD$ в уравнение (1):

$\frac{c}{a} \cdot CD - CD = a - c$

Вынесем $CD$ за скобки в левой части:

$CD \cdot (\frac{c}{a} - 1) = a - c$

$CD \cdot \frac{c - a}{a} = a - c$

Заметим, что $a - c = -(c - a)$. Перепишем уравнение в виде:

$CD \cdot \frac{c - a}{a} = -(c - a)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$CD \cdot \frac{c - a}{a} + (c - a) = 0$

Вынесем общий множитель $(c - a)$ за скобки:

$(c - a) \cdot (\frac{CD}{a} + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. $c - a = 0 \implies c = a$.

2. $\frac{CD}{a} + 1 = 0$. Так как $CD$ (длина отрезка) и $a$ (длина стороны треугольника) являются положительными величинами, то их отношение $\frac{CD}{a}$ также положительно. Следовательно, сумма $\frac{CD}{a} + 1$ всегда будет больше 1 и не может равняться нулю.

Таким образом, единственно возможным является первый случай: $c = a$.

Это означает, что стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что если биссектриса треугольника делит его на два треугольника с равными периметрами, то стороны, между которыми проходит биссектриса, равны между собой. Следовательно, такой треугольник является равнобедренным.