Номер 4.91, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.91. В полуокружность с центром в точке $O$ и радиусом 16 см вписана окружность диаметром 12 см. Найдите расстояние от точки касания малой окружности диаметром до точки $O$.

Обозначим данные из условия задачи:

• $R$ — радиус большой полуокружности с центром в точке $O$. По условию $R = 16$ см.
• $d$ — диаметр вписанной (малой) окружности. По условию $d = 12$ см.
• $r$ — радиус малой окружности. $r = d / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Пусть центр малой окружности будет в точке $O'$, а точка касания малой окружности с диаметром большой полуокружности — в точке $A$. Нам нужно найти расстояние $OA$.

Для наглядности построим чертеж:

Рассмотрим треугольник $\triangle OO'A$.

1. Отрезок $O'A$ является радиусом малой окружности, проведенным к точке касания $A$ на диаметре большой полуокружности. Следовательно, отрезок $O'A$ перпендикулярен этому диаметру. Это означает, что $\triangle OO'A$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $A$. Длина катета $O'A$ равна радиусу малой окружности: $O'A = r = 6$ см.

2. Малая окружность вписана в полуокружность, что означает, что она касается дуги полуокружности внутренним образом. Расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно разности их радиусов (для внутреннего касания). Пусть точка касания окружностей — $B$. Точки $O$, $O'$ и $B$ лежат на одной прямой. Расстояние между центрами $O$ и $O'$ равно:$OO' = OB - O'B = R - r = 16 - 6 = 10$ см.В треугольнике $\triangle OO'A$ этот отрезок является гипотенузой.

3. Теперь мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle OO'A$, в котором известны гипотенуза $OO' = 10$ см и один из катетов $O'A = 6$ см. Требуется найти длину второго катета $OA$.

Применим теорему Пифагора: $OA^2 + O'A^2 = OO'^2$.

Подставим известные значения:

$OA^2 + 6^2 = 10^2$

$OA^2 + 36 = 100$

$OA^2 = 100 - 36$

$OA^2 = 64$

$OA = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от точки касания малой окружности диаметром до точки $O$ составляет 8 см.

Ответ: 8 см.