Номер 4.84, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.84. Какие условия должны выполняться, чтобы центр окружности, описанной около треугольника, был внутри треугольника, снаружи или на одной из его сторон?

Положение центра окружности, описанной около треугольника (точки пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам), зависит от вида углов треугольника. Возможны три случая.

...внутри треугольника
Центр описанной окружности находится внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является остроугольным. В остроугольном треугольнике все три угла меньше 90°. В этом случае точка пересечения серединных перпендикуляров всегда оказывается во внутренней области треугольника.
Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Угол при центре, опирающийся на одну из сторон, вдвое больше угла при противолежащей вершине. Например, $\angle BOC = 2\angle A$. Если все углы треугольника острые ($\angle A, \angle B, \angle C < 90^\circ$), то все соответствующие центральные углы будут меньше $180^\circ$. Это геометрически означает, что центр $O$ лежит внутри треугольника $ABC$.
Ответ: чтобы центр описанной окружности был внутри треугольника, треугольник должен быть остроугольным (все его углы должны быть меньше 90°).

...снаружи
Центр описанной окружности находится снаружи треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является тупоугольным. В тупоугольном треугольнике один из углов больше 90°. Серединные перпендикуляры к сторонам, образующим тупой угол, пересекаются за пределами треугольника. Центр окружности лежит с той же стороны от стороны, противолежащей тупому углу, что и сам треугольник.
Если в треугольнике $ABC$ угол $A$ тупой ($\angle A > 90^\circ$), то центр $O$ и вершина $A$ будут лежать по разные стороны от прямой $BC$.
Ответ: чтобы центр описанной окружности был снаружи треугольника, треугольник должен быть тупоугольным (один из его углов должен быть больше 90°).

...на одной из его сторон
Центр описанной окружности лежит на одной из его сторон тогда и только тогда, когда треугольник является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°.
Это следует из теоремы о вписанном угле: вписанный угол, равный $90^\circ$, всегда опирается на диаметр окружности. Таким образом, гипотенуза (сторона, лежащая напротив прямого угла) прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности. Центр окружности, в свою очередь, является серединой любого ее диаметра. Следовательно, центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Ответ: чтобы центр описанной окружности был на одной из его сторон, треугольник должен быть прямоугольным (один из его углов должен быть равен 90°). Центр окружности в этом случае будет совпадать с серединой гипотенузы.