Номер 4.77, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.77. Секущая в $2\frac{1}{4}$ раза длиннее своего внешнего отрезка. Во сколько раз она длиннее касательной, проведенной из той же точки?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек ее пересечения с окружностью.

Изобразим данную ситуацию на рисунке:

Пусть из точки $P$ к окружности проведены секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $P$ и $B$), и касательная, касающаяся окружности в точке $C$.

Тогда:

• $PB$ — это вся секущая.
• $PA$ — это внешний отрезок секущей.
• $PC$ — это касательная.

По условию задачи, секущая в $2\frac{1}{4}$ раза длиннее своего внешнего отрезка. Запишем это в виде формулы:

$PB = 2\frac{1}{4} \cdot PA$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

Таким образом, $PB = \frac{9}{4} PA$.

Согласно теореме о касательной и секущей:

$PC^2 = PB \cdot PA$

Подставим в эту формулу выражение для $PB$ из условия задачи:

$PC^2 = \left(\frac{9}{4} PA\right) \cdot PA = \frac{9}{4} PA^2$

Теперь найдем длину касательной $PC$, извлекая квадратный корень:

$PC = \sqrt{\frac{9}{4} PA^2} = \frac{3}{2} PA$

Нам нужно найти, во сколько раз секущая ($PB$) длиннее касательной ($PC$). Для этого найдем отношение их длин $\frac{PB}{PC}$:

$\frac{PB}{PC} = \frac{\frac{9}{4} PA}{\frac{3}{2} PA}$

Сократим $PA$ в числителе и знаменателе:

$\frac{PB}{PC} = \frac{9/4}{3/2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, секущая в 1,5 раза длиннее касательной.

Ответ: в 1,5 раза.