Номер 4.73, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.73. Из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, разделенная окружностью пополам. Какая часть секущей ограничена окружностью, если длина касательной равна 4 см?

Пусть из точки $P$, лежащей вне окружности, проведены касательная $PT$ (где $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $P$ и $B$). Для наглядности представим следующую схему:

По условию задачи, длина отрезка касательной равна $PT = 4$ см.

Также дано, что секущая разделена окружностью пополам. Это означает, что ее внешняя часть, отрезок $PA$, равна по длине ее внутренней части, хорде $AB$.

Обозначим длину этих равных частей через $x$. Таким образом, мы имеем:

$PA = x$

$AB = x$

Длина всего отрезка секущей от точки $P$ до дальней точки пересечения $B$ будет суммой длин отрезков $PA$ и $AB$:

$PB = PA + AB = x + x = 2x$

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей, которая гласит, что квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длины отрезка секущей от этой точки до ближней точки пересечения на длину отрезка секущей до дальней точки пересечения.

Математически это выражается формулой:

$PT^2 = PA \cdot PB$

Подставим в эту формулу известные и введенные нами значения:

$4^2 = x \cdot (2x)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$16 = 2x^2$

$x^2 = \frac{16}{2}$

$x^2 = 8$

$x = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти длину части секущей, которая ограничена окружностью. Эта часть является хордой $AB$. Поскольку мы обозначили длину хорды $AB$ как $x$, то искомая длина равна найденному значению $x$.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.