Номер 4.68, страница 146 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.68. Из точки $E$ к окружности проведены касательная $AE$ и секущая $BE$. Эта секущая пересекает окружность в точках $B$ и $C$. Найдите длину $AE$, если $BC=5$ см, $BE=4$ см, точка $B$ лежит между точками $C$ и $E$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Эта теорема утверждает, что квадрат длины отрезка касательной от точки вне окружности до точки касания равен произведению длины отрезка секущей от той же точки до дальней точки пересечения на длину отрезка секущей от той же точки до ближней точки пересечения.

В нашем случае, AE — это касательная, а CE — секущая. Точка E — общая точка, из которой они проведены. Секущая пересекает окружность в точках B и C. Согласно условию, точка B лежит между C и E, значит B — ближняя точка пересечения, а C — дальняя.

Математически теорема записывается так:

$AE^2 = CE \cdot BE$

По условию задачи нам даны длины отрезков:

$BC = 5$ см

$BE = 4$ см

Отрезок CE является всей секущей, и его длина равна сумме длин его частей, CB и BE, так как точка B лежит между C и E.

$CE = CB + BE$

Подставим известные значения:

$CE = 5 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Теперь мы можем использовать формулу теоремы для нахождения длины касательной AE:

$AE^2 = 9 \cdot 4$

$AE^2 = 36$

Чтобы найти длину AE, извлечем квадратный корень из 36. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, мы берем положительное значение корня.

$AE = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$

Ответ: длина AE равна 6 см.