Номер 4.66, страница 146 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.66. Найдите диаметр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 3 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 12$ см и высотой $BH = 3$ см, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $BC$:
$BC^2 = BH^2 + HC^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$
$BC = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Для нахождения диаметра вписанной окружности сначала найдем ее радиус $r$. Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Площадь треугольника $ABC$ равна: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18$ см$^2$.

Полупериметр треугольника $ABC$ равен: $p = \frac{AC + AB + BC}{2} = \frac{12 + 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}{2} = \frac{12 + 6\sqrt{5}}{2} = 6 + 3\sqrt{5}$ см.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{18}{6 + 3\sqrt{5}} = \frac{18}{3(2 + \sqrt{5})} = \frac{6}{2 + \sqrt{5}}$.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} - 2)$: $r = \frac{6}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{6(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{6(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = 6(\sqrt{5} - 2)$ см.

Диаметр окружности $d$ равен удвоенному радиусу: $d = 2r = 2 \cdot 6(\sqrt{5} - 2) = 12(\sqrt{5} - 2)$ см.

Ответ: $12(\sqrt{5} - 2)$ см.