Номер 4.62, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.62. Из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, разделенная окружностью пополам. Какова длина касательной, если часть секущей, ограниченная окружностью, равна 4 см?

Пусть из точки P, расположенной вне окружности, проведены касательная PT (где T — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках A и B (причем точка A лежит между P и B).

Изобразим данную конфигурацию на рисунке:

Согласно условию задачи:
1. Часть секущей, ограниченная окружностью, равна 4 см. Это хорда AB. Таким образом, $AB = 4$ см.
2. Секущая разделена окружностью пополам. Это означает, что внешняя часть секущей (отрезок PA) равна ее внутренней части (хорде AB). Таким образом, $PA = AB$.

Из этих двух условий следует, что длина внешней части секущей $PA = 4$ см.

Найдем длину всей секущей PB. Она равна сумме длин ее внешней и внутренней частей:
$PB = PA + AB = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Для нахождения длины касательной PT воспользуемся теоремой о касательной и секущей. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Математически это выражается формулой:
$PT^2 = PA \cdot PB$

Подставим известные значения в эту формулу:
$PT^2 = 4 \cdot 8$
$PT^2 = 32$

Теперь найдем длину PT, извлекая квадратный корень:
$PT = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.