Номер 4.58, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.58. Может ли радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с основаниями 24 см и 16 см, равняться 8 см?

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и условием, при котором в четырехугольник можно вписать окружность.

1. Условие вписанной окружности.
В любой описанный четырехугольник (в том числе и в трапецию) можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции с основаниями $a$, $b$ и боковыми сторонами $c$ это условие выглядит так: $a + b = c + c \Rightarrow a + b = 2c$

По условию, основания трапеции равны $a = 24$ см и $b = 16$ см. Найдем длину боковой стороны $c$, при которой в эту трапецию можно было бы вписать окружность: $24 + 16 = 2c$ $40 = 2c$ $c = 20$ см. Следовательно, если в данную трапецию вписана окружность, ее боковая сторона должна быть равна 20 см.

2. Связь радиуса и высоты.
Высота $h$ трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности: $h = 2r$. В задаче спрашивается, может ли радиус $r$ быть равен 8 см. Если предположить, что $r = 8$ см, то высота трапеции должна быть: $h = 2 \cdot r = 2 \cdot 8 = 16$ см.

3. Проверка геометрического соответствия.
Теперь нам нужно проверить, может ли существовать равнобедренная трапеция, у которой одновременно выполняются следующие условия:

• основания $a = 24$ см и $b = 16$ см;
• боковая сторона $c = 20$ см;
• высота $h = 16$ см.

Длина этого отрезка (катета) равна: $\frac{a - b}{2} = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

По теореме Пифагора, должно выполняться равенство: $c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$

Подставим значения, которые мы определили: $c=20$, $h=16$, $\frac{a-b}{2}=4$. $20^2 = 16^2 + 4^2$ $400 = 256 + 16$ $400 = 272$

Мы получили неверное равенство ($400 \neq 272$). Это означает, что геометрические параметры трапеции, необходимые для вписания окружности (что требует $c=20$), противоречат параметрам, вытекающим из предположения, что радиус равен 8 (что требует $h=16$). Следовательно, такая трапеция не может существовать.

Ответ: нет, не может.