Номер 4.60, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.60. Покажите, что заключение задачи 4.59 выполняется для любого четырехугольника, описанного около окружности.

В условии задачи требуется доказать, что заключение некоторой задачи 4.59 выполняется для любого описанного четырехугольника. Наиболее вероятным и содержательным утверждением, которое часто доказывается сначала для частного случая (например, для дельтоида), а затем обобщается, является теорема Ньютона для описанных четырехугольников. Сформулируем и докажем эту теорему.

Теорема: В любом четырехугольнике, описанном около окружности, две его диагонали и две прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Пусть дан описанный четырехугольник $ABCD$. Окружность касается его сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Требуется доказать, что прямые $AC$, $BD$, $KM$ и $LN$ пересекаются в одной точке.

Доказательство основано на применении теоремы Брианшона для вырожденных шестиугольников.

Теорема Брианшона: Если шестиугольник описан около конического сечения (в частности, окружности), то три его главные диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

Шаг 1: Докажем, что прямые $AC$, $BD$ и $KM$ пересекаются в одной точке.

Рассмотрим вырожденный шестиугольник $AKBCMD$. Его вершины: $V_1=A$, $V_2=K$, $V_3=B$, $V_4=C$, $V_5=M$, $V_6=D$.

Стороны этого шестиугольника лежат на прямых:

• $V_1V_2$: прямая $AK$, то есть $AB$.
• $V_2V_3$: прямая $KB$, то есть $AB$.
• $V_3V_4$: прямая $BC$.
• $V_4V_5$: прямая $CM$, то есть $CD$.
• $V_5V_6$: прямая $MD$, то есть $CD$.
• $V_6V_1$: прямая $DA$.

Все эти прямые ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$) касаются вписанной окружности. Следовательно, шестиугольник $AKBCMD$ является описанным, и к нему применима теорема Брианшона.

Главные диагонали этого шестиугольника соединяют противоположные вершины:

• $V_1$ и $V_4$: прямая $AC$.
• $V_2$ и $V_5$: прямая $KM$.
• $V_3$ и $V_6$: прямая $BD$.

Согласно теореме Брианшона, прямые $AC$, $BD$ и $KM$ пересекаются в одной точке.

Шаг 2: Докажем, что прямые $AC$, $BD$ и $LN$ пересекаются в одной точке.

Теперь рассмотрим другой вырожденный шестиугольник $ABLCDN$. Его вершины: $V_1=A$, $V_2=B$, $V_3=L$, $V_4=C$, $V_5=D$, $V_6=N$.

Стороны этого шестиугольника лежат на прямых:

• $V_1V_2$: прямая $AB$.
• $V_2V_3$: прямая $BL$, то есть $BC$.
• $V_3V_4$: прямая $LC$, то есть $BC$.
• $V_4V_5$: прямая $CD$.
• $V_5V_6$: прямая $DN$, то есть $DA$.
• $V_6V_1$: прямая $NA$, то есть $DA$.

Все эти прямые также касаются вписанной окружности, поэтому шестиугольник $ABLCDN$ является описанным.

Главные диагонали этого шестиугольника:

• $V_1$ и $V_4$: прямая $AC$.
• $V_2$ и $V_5$: прямая $BD$.
• $V_3$ и $V_6$: прямая $LN$.

По теореме Брианшона, прямые $AC$, $BD$ и $LN$ также пересекаются в одной точке.

Заключение

Из шага 1 следует, что прямые $AC$, $BD$ и $KM$ пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $P$. Так как четырехугольник невырожденный, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в единственной точке, следовательно, $P$ — это точка пересечения $AC$ и $BD$.

Из шага 2 следует, что прямые $AC$, $BD$ и $LN$ также пересекаются в одной точке. Эта точка также должна быть точкой пересечения $AC$ и $BD$, то есть точкой $P$.

Таким образом, все четыре прямые $AC$, $BD$, $KM$ и $LN$ проходят через одну и ту же точку $P$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, которое требовалось доказать, показано верным. Заключение задачи 4.59 (теорема Ньютона) выполняется для любого четырехугольника, описанного около окружности.