Номер 4.65, страница 146 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.65. В окружность диаметром 10 см вписан равнобедренный треугольник высотой, проведенной к основанию. Найдите основание треугольника, если высота равна 2 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$, вписанный в окружность. Пусть $AH$ — высота, проведенная к основанию $BC$. По условию, диаметр окружности $d = 10$ см, а высота $AH = h = 2$ см.

Радиус окружности $R$ равен половине диаметра: $R = d/2 = 10/2 = 5$ см.

Для равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, высота, проведенная к основанию, лежит на диаметре этой окружности. Обозначим центр окружности буквой $O$. Центр $O$ лежит на прямой, содержащей высоту $AH$.

Рассмотрим расположение точек $A$, $H$ и $O$ на этом диаметре. Вершина $A$ лежит на окружности, поэтому расстояние от центра до вершины $A$ равно радиусу, то есть $AO = R = 5$ см. Высота треугольника $AH = h = 2$ см. Так как $AH < AO$ ($2 \text{ см} < 5 \text{ см}$), точка $H$ (основание высоты) находится между вершиной $A$ и центром окружности $O$. Это означает, что центр окружности находится вне треугольника, и треугольник является тупоугольным.

Найдем расстояние от центра окружности $O$ до основания $BC$, то есть длину отрезка $OH$. Точки $A$, $H$, $O$ лежат на одной прямой, причем $H$ находится между $A$ и $O$. Следовательно, $OH = AO - AH = R - h$.

$OH = 5 - 2 = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$. Угол $\angle OHC = 90^\circ$, так как высота $AH$ перпендикулярна основанию $BC$. В этом треугольнике гипотенуза $OC$ является радиусом окружности ($OC = R = 5$ см), катет $OH$ равен 3 см, а второй катет $HC$ равен половине основания $BC$.

По теореме Пифагора $OC^2 = OH^2 + HC^2$. Подставим известные значения:

$5^2 = 3^2 + HC^2$

$25 = 9 + HC^2$

$HC^2 = 25 - 9 = 16$

$HC = \sqrt{16} = 4$ см.

Основание треугольника $BC$ в два раза больше отрезка $HC$, так как в равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой. Таким образом, $BC = 2 \times HC = 2 \times 4 = 8$ см.

Ответ: основание треугольника равно 8 см.