Номер 4.67, страница 146 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.67. Прямая, проведенная через точку пересечения медиан треугольника $ABC$ и параллельная стороне $AB$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдите отношения:

1) $A_1B_1 : AB$

2) $S_{A_1B_1C} : S_{ABB_1A_1}$

Пусть $M$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$ (центроид). Проведем медиану $CK$ из вершины $C$ к стороне $AB$. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом, $CM : MK = 2:1$.

Из этого отношения следует, что $\frac{CM}{CK} = \frac{CM}{CM+MK} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.

По условию, прямая $A_1B_1$ проходит через точку $M$ и параллельна стороне $AB$ ($A_1B_1 \parallel AB$).

1) $A_1B_1 : AB$

Рассмотрим треугольники $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle ABC$.

Так как $A_1B_1 \parallel AB$, то $\triangle A_1B_1C \sim \triangle ABC$ по двум углам ($\angle C$ - общий, $\angle CA_1B_1 = \angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$, $AB$ и секущей $AC$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$: $k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{CA_1}{CA} = \frac{CB_1}{CB}$.

По обобщенной теореме Фалеса, так как параллельные прямые $A_1B_1$ и $AB$ пересекают стороны угла $C$, они отсекают на его сторонах и на любой прямой, пересекающей их (в данном случае на медиане $CK$), пропорциональные отрезки. Следовательно, $\frac{CA_1}{CA} = \frac{CM}{CK}$.

Объединяя полученные равенства, имеем: $\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{CA_1}{CA} = \frac{CM}{CK} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, отношение $A_1B_1 : AB$ равно $2:3$.

Ответ: $2:3$.

2) $S_{A_1B_1C} : S_{ABB_1A_1}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Мы уже установили, что $\triangle A_1B_1C \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$.

Следовательно, отношение их площадей равно: $\frac{S_{A_1B_1C}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

Отсюда $S_{A_1B_1C} = \frac{4}{9}S_{ABC}$.

Фигура $ABB_1A_1$ является трапецией (так как $A_1B_1 \parallel AB$). Ее площадь можно найти как разность площадей треугольников $ABC$ и $A_1B_1C$: $S_{ABB_1A_1} = S_{ABC} - S_{A_1B_1C} = S_{ABC} - \frac{4}{9}S_{ABC} = \left(1 - \frac{4}{9}\right)S_{ABC} = \frac{5}{9}S_{ABC}$.

Теперь найдем искомое отношение площадей: $\frac{S_{A_1B_1C}}{S_{ABB_1A_1}} = \frac{\frac{4}{9}S_{ABC}}{\frac{5}{9}S_{ABC}} = \frac{4}{5}$.

Таким образом, отношение $S_{A_1B_1C} : S_{ABB_1A_1}$ равно $4:5$.

Ответ: $4:5$.