Номер 4.74, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.74. Мост построен в виде дуги окружности (рис. 4.26). Найдите:

1) длину AB, если $CK=h=3$ м, $CO=R=8,5$ м;

2) радиус дуги фермы, если $AB=6$ м, $h=1,2$ м.

Рис. 4.26

На рисунке мост изображен в виде дуги окружности $ACB$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Отрезок $AB$ — это хорда данной окружности. Высота дуги $CK$ обозначена как $h$. Точка $K$ является серединой хорды $AB$, а радиус $OC$ перпендикулярен хорде $AB$. Следовательно, треугольник $OKA$ является прямоугольным, где гипотенуза $OA$ равна радиусу $R$.

1) Для нахождения длины $AB$ при известных $CK=h=3$ м и $CO=R=8,5$ м, рассмотрим прямоугольный треугольник $OKA$. Гипотенуза $OA$ является радиусом окружности, поэтому $OA = R = 8,5$ м. Катет $OK$ можно найти как разность радиуса $OC$ и высоты дуги $CK$: $OK = OC - CK = R - h = 8,5 - 3 = 5,5$ м. По теореме Пифагора $OA^2 = OK^2 + AK^2$, откуда можем найти длину катета $AK$: $AK^2 = OA^2 - OK^2 = 8,5^2 - 5,5^2$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $AK^2 = (8,5 - 5,5)(8,5 + 5,5) = 3 \cdot 14 = 42$, следовательно $AK = \sqrt{42}$ м. Так как радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, то $K$ — середина $AB$. Значит, длина хорды $AB$ вдвое больше длины $AK$: $AB = 2 \cdot AK = 2\sqrt{42}$ м.

Ответ: $AB = 2\sqrt{42}$ м.

2) Для нахождения радиуса дуги при известных $AB=6$ м и $h=1,2$ м, снова рассмотрим прямоугольный треугольник $OKA$. Поскольку $K$ — середина хорды $AB$, длина отрезка $AK$ равна половине длины $AB$: $AK = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ м. Обозначим искомый радиус как $R$. Тогда гипотенуза $OA = R$. Катет $OK$ можно выразить через радиус $R$ и высоту $h$: $OK = OC - CK = R - h = R - 1,2$ м. Применив теорему Пифагора $OA^2 = OK^2 + AK^2$ и подставив все значения, получим уравнение: $R^2 = (R - 1,2)^2 + 3^2$. Раскроем скобки и решим его относительно $R$: $R^2 = R^2 - 2 \cdot R \cdot 1,2 + 1,2^2 + 9$, что упрощается до $R^2 = R^2 - 2,4R + 1,44 + 9$. Отсюда $0 = -2,4R + 10,44$, или $2,4R = 10,44$. Находим радиус: $R = \frac{10,44}{2,4} = 4,35$ м.

Ответ: $R = 4,35$ м.