Номер 4.76, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.76. Докажите, что касательные, проведенные из продолжения общей хорды двух пересекающихся окружностей к этим окружностям, равны.

Пусть даны две пересекающиеся окружности, которые мы обозначим как $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $. Пусть точки их пересечения — это точки A и B. Тогда отрезок AB является их общей хордой.

Возьмем произвольную точку M на продолжении хорды AB (то есть на прямой AB, но вне отрезка AB). Из этой точки проведем касательные к обеим окружностям. Пусть $ MT_1 $ — касательная к окружности $ \omega_1 $ (где $ T_1 $ — точка касания), а $ MT_2 $ — касательная к окружности $ \omega_2 $ (где $ T_2 $ — точка касания).

Необходимо доказать, что длины этих касательных равны, то есть $ MT_1 = MT_2 $.

Для доказательства воспользуемся свойством степени точки относительно окружности, которое также известно как теорема о касательной и секущей.

Геометрическая конфигурация задачи показана на рисунке:

Доказательство:

1. Рассмотрим окружность $ \omega_1 $ и точку M. Прямая, проходящая через точки M, A и B, является секущей для окружности $ \omega_1 $, так как пересекает её в точках A и B. Отрезок $ MT_1 $ является касательной к этой окружности.

Согласно теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки, от этой точки до точек пересечения с окружностью. Таким образом, для окружности $ \omega_1 $ имеем: $ MT_1^2 = MA \cdot MB $

2. Теперь рассмотрим окружность $ \omega_2 $ и ту же точку M. Прямая MA является секущей и для окружности $ \omega_2 $, так как тоже пересекает её в точках A и B. Отрезок $ MT_2 $ является касательной к этой окружности.

Применяя ту же теорему для окружности $ \omega_2 $, получаем: $ MT_2^2 = MA \cdot MB $

3. Сравнивая полученные выражения для $ MT_1^2 $ и $ MT_2^2 $, мы видим, что они оба равны одному и тому же произведению $ MA \cdot MB $: $ MT_1^2 = MT_2^2 $

4. Поскольку длины отрезков $ MT_1 $ и $ MT_2 $ являются положительными величинами, из равенства их квадратов следует равенство самих длин: $ MT_1 = MT_2 $

Таким образом, мы доказали, что касательные, проведенные из точки на продолжении общей хорды к двум пересекающимся окружностям, равны.

Ответ: Равенство длин касательных доказано.