Номер 4.69, страница 146 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.69. Докажите, что угол между хордой и касательной, проведенной к окружности из одного конца данной хорды, равен половине центрального угла, натянутого на эту хорду.

Для доказательства утверждения рассмотрим окружность с центром в точке $O$. Проведем в ней хорду $AB$ и касательную к окружности в точке $A$. Обозначим на касательной точку $C$ так, чтобы угол $∠CAB$ был углом между хордой и касательной. Нам нужно доказать, что $∠CAB$ равен половине центрального угла $∠AOB$, который опирается на хорду $AB$.

То есть, мы доказываем равенство: $∠CAB = \frac{1}{2} ∠AOB$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ΔAOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому они равны: $OA = OB$. Это означает, что треугольник $ΔAOB$ является равнобедренным.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $∠OAB = ∠OBA$.

3. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для $ΔAOB$ имеем: $∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°$.

4. Заменив $∠OBA$ на $∠OAB$, получим: $∠AOB + 2 \cdot ∠OAB = 180°$.

5. Выразим из этого уравнения угол $∠OAB$:$2 \cdot ∠OAB = 180° - ∠AOB$$∠OAB = \frac{180° - ∠AOB}{2} = 90° - \frac{1}{2} ∠AOB$.

6. Теперь воспользуемся свойством касательной. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В нашем случае касательная (прямая $AC$) перпендикулярна радиусу $OA$.

7. Это означает, что угол между радиусом $OA$ и касательной $AC$ равен $90°$: $∠OAC = 90°$.

8. Из рисунка видно, что угол $∠OAC$ складывается из двух углов: $∠OAB$ и $∠CAB$. То есть, $∠OAC = ∠OAB + ∠CAB$ (это верно для случая, когда хорда расположена так, что угол $∠CAB$ является острым).

9. Подставим известные нам выражения в это равенство:$90° = (90° - \frac{1}{2} ∠AOB) + ∠CAB$.

10. Упростим уравнение, чтобы найти $∠CAB$:$∠CAB = 90° - (90° - \frac{1}{2} ∠AOB)$$∠CAB = 90° - 90° + \frac{1}{2} ∠AOB$$∠CAB = \frac{1}{2} ∠AOB$.

Таким образом, мы доказали, что угол между хордой и касательной, проведенной из одного конца хорды, равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол между хордой и касательной, проведенной к окружности из одного конца данной хорды, действительно равен половине центрального угла, натянутого на эту хорду.