Номер 4.63, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.63. Радиус окружности 7 см, секущая, проведенная из точки, находящейся на расстоянии 9 см от центра, делится окружностью пополам. Найдите длину секущей.

Обозначим центр окружности как $O$, а точку, из которой проведена секущая, как $M$. Радиус окружности $R = 7$ см, а расстояние от точки $M$ до центра $O$ равно $OM = 9$ см.

Пусть секущая, проведенная из точки $M$, пересекает окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ находится между $M$ и $B$). Тогда отрезок $MA$ — это внешняя часть секущей, а отрезок $AB$ — это хорда, высекаемая окружностью на секущей.

Согласно условию задачи, секущая делится окружностью пополам. Это означает, что длина внешней части секущей равна длине хорды, которую она высекает на окружности. Таким образом, $MA = AB$.

Введем обозначение: пусть длина отрезка $MA = x$. Тогда длина хорды $AB$ также равна $x$.

Длина всей секущей, то есть отрезка от точки $M$ до дальней точки пересечения $B$, будет равна $MB = MA + AB = x + x = 2x$. Нам нужно найти длину $MB$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности (или теоремой о секущей). Согласно этой теореме, произведение длины внешней части секущей на длину всей секущей равно квадрату расстояния от точки до центра окружности минус квадрат радиуса:

$MA \cdot MB = OM^2 - R^2$

Подставим в эту формулу известные и введенные нами значения:

$x \cdot (2x) = 9^2 - 7^2$

Теперь решим полученное уравнение:

$2x^2 = 81 - 49$

$2x^2 = 32$

$x^2 = 16$

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, берем положительный корень:

$x = \sqrt{16} = 4$ см.

Мы нашли длину внешней части секущей $MA = 4$ см. Длина всей секущей $MB$ равна $2x$.

$MB = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: 8 см.