Номер 4.59, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.59. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон описанной равнобедренной трапеции, проходят через точку пересечения ее диагоналей.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, в которую вписана окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB, BC, CD, AD$ как $K, L, M, N$ соответственно. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Требуется доказать, что прямые $LN$ и $KM$ проходят через точку $P$.

Введем систему координат. Поскольку трапеция равнобедренная, она имеет ось симметрии, проходящую через середины оснований. Пусть эта ось совпадает с осью $Oy$. Центр вписанной окружности $O$ лежит на оси симметрии, поместим его в начало координат $O(0,0)$.

Пусть радиус вписанной окружности равен $r$. Тогда прямые, содержащие основания, будут параллельны оси $Ox$ и задаваться уравнениями $y=r$ и $y=-r$. Пусть $BC$ лежит на прямой $y=r$, а $AD$ — на прямой $y=-r$.Вершины трапеции будут иметь координаты $B(-x_2, r)$, $C(x_2, r)$, $A(-x_1, -r)$, $D(x_1, -r)$, где $x_1 > x_2 > 0$.Длина верхнего основания $BC = 2x_2$, длина нижнего основания $AD = 2x_1$. Высота трапеции $h=2r$.

Для описанной равнобедренной трапеции выполняется важное свойство: квадрат высоты равен произведению оснований.$h^2 = (AD) \cdot (BC)$$(2r)^2 = (2x_1) \cdot (2x_2)$$4r^2 = 4x_1x_2$$r^2 = x_1x_2$.Это соотношение будет ключом к решению.

1. Докажем, что точка $P$ лежит на прямой $LN$.

Точки касания на основаниях $BC$ и $AD$ в силу симметрии являются их серединами. Однако в нашей системе координат очевидно, что точка касания окружности $x^2+y^2=r^2$ с прямой $y=r$ — это точка $L(0,r)$, а с прямой $y=-r$ — это точка $N(0,-r)$. Обе точки лежат на оси $Oy$. Следовательно, прямая $LN$ совпадает с осью $Oy$.Диагонали $AC$ и $BD$ симметричны относительно оси $Oy$. Их точка пересечения $P$ также должна лежать на оси симметрии. Значит, точка $P$ лежит на оси $Oy$, а следовательно, и на прямой $LN$.

2. Докажем, что точка $P$ лежит на прямой $KM$.

Найдем координаты точки $P$. Для этого найдем уравнение прямой $AC$ и ее точку пересечения с осью $Oy$ (где $x=0$).Координаты точек: $A(-x_1, -r)$ и $C(x_2, r)$.Уравнение прямой, проходящей через две точки: $\frac{x - x_C}{x_A - x_C} = \frac{y - y_C}{y_A - y_C}$.$\frac{x - x_2}{-x_1 - x_2} = \frac{y - r}{-r - r}$$\frac{x - x_2}{-(x_1 + x_2)} = \frac{y - r}{-2r}$Для нахождения $y$-координаты точки $P$, подставим $x=0$:$\frac{-x_2}{-(x_1 + x_2)} = \frac{y_P - r}{-2r}$$\frac{x_2}{x_1 + x_2} = \frac{y_P - r}{2r}$$y_P - r = \frac{2rx_2}{x_1 + x_2}$$y_P = r + \frac{2rx_2}{x_1 + x_2} = r \left( 1 - \frac{2x_2}{x_1 + x_2} \right) = r \frac{x_1 + x_2 - 2x_2}{x_1 + x_2} = r \frac{x_1 - x_2}{x_1 + x_2}$.Итак, $P$ имеет координаты $(0, r \frac{x_1 - x_2}{x_1 + x_2})$.

Теперь найдем координаты точек $K$ и $M$. В силу симметрии, прямая $KM$ горизонтальна, и ее уравнение имеет вид $y=y_K$. Нам нужно доказать, что $y_P = y_K$.Точка $K$ — это точка касания окружности $x^2+y^2=r^2$ и прямой $AB$.Найдем уравнение прямой $AB$. Точки $A(-x_1, -r)$ и $B(-x_2, r)$.Наклон $m = \frac{r - (-r)}{-x_2 - (-x_1)} = \frac{2r}{x_1 - x_2}$.Уравнение прямой: $y - r = \frac{2r}{x_1 - x_2}(x - (-x_2))$.$y(x_1-x_2) - r(x_1-x_2) = 2r(x+x_2)$$2rx - (x_1-x_2)y + r(x_1-x_2) + 2rx_2 = 0$$2rx - (x_1-x_2)y + r(x_1+x_2) = 0$.Радиус-вектор $\vec{OK}=(x_K, y_K)$ перпендикулярен касательной $AB$. Следовательно, вектор $(x_K, y_K)$ коллинеарен вектору нормали к прямой $AB$, который имеет координаты $(2r, -(x_1-x_2))$.Значит, $(x_K, y_K) = \lambda (2r, -(x_1-x_2))$ для некоторого скаляра $\lambda$.$x_K = 2\lambda r$, $y_K = -\lambda(x_1-x_2)$.Точка $K$ лежит на окружности, поэтому $x_K^2 + y_K^2 = r^2$.$(2\lambda r)^2 + (-\lambda(x_1-x_2))^2 = r^2$$4\lambda^2 r^2 + \lambda^2 (x_1-x_2)^2 = r^2$$\lambda^2 (4r^2 + (x_1-x_2)^2) = r^2$.Используем свойство $r^2 = x_1x_2$:$\lambda^2 (4x_1x_2 + x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) = r^2$$\lambda^2 (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) = r^2$$\lambda^2 (x_1+x_2)^2 = r^2$$\lambda = \pm \frac{r}{x_1+x_2}$.Так как точка $K$ находится на отрезке $AB$ (вершины $A$ и $B$ в левой полуплоскости), ее абсцисса $x_K$ должна быть отрицательной. $x_K = 2\lambda r$. Поскольку $r>0$, $\lambda$ должно быть отрицательным.$\lambda = -\frac{r}{x_1+x_2}$.Теперь найдем ординату точки $K$:$y_K = -\lambda(x_1-x_2) = -(-\frac{r}{x_1+x_2})(x_1-x_2) = r \frac{x_1 - x_2}{x_1 + x_2}$.

Сравнивая ординаты точек $P$ и $K$, мы видим, что они равны:$y_P = y_K = r \frac{x_1 - x_2}{x_1 + x_2}$.Это означает, что точка $P$ лежит на горизонтальной прямой $KM$.

Таким образом, мы доказали, что точка пересечения диагоналей $P$ лежит как на прямой $LN$, так и на прямой $KM$. Следовательно, обе эти прямые проходят через точку $P$.

Ответ: Утверждение доказано.