Номер 4.55, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.55. Докажите, что около четырехугольника, полученного при пересечении биссектрис произвольного выпуклого четырехугольника, можно описать окружность.

Пусть дан произвольный выпуклый четырехугольник $ABCD$ с внутренними углами при вершинах $A, B, C, D$, равными $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ соответственно. Известно, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$.

Проведем биссектрисы внутренних углов этого четырехугольника. Пусть биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $P$, биссектрисы углов $B$ и $C$ — в точке $Q$, биссектрисы углов $C$ и $D$ — в точке $R$, и биссектрисы углов $D$ и $A$ — в точке $S$. В результате пересечения биссектрис образуется четырехугольник $PQRS$.

Для того чтобы доказать, что около четырехугольника $PQRS$ можно описать окружность, необходимо и достаточно доказать, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Докажем, что $\angle P + \angle R = 180^\circ$.

1. Найдем угол при вершине P.
Точка $P$ является точкой пересечения биссектрис углов $A$ и $B$. Рассмотрим треугольник $APB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов четырехугольника $ABCD$: $\angle PAB = \alpha/2$ и $\angle PBA = \beta/2$. Тогда угол при вершине $P$ в треугольнике $APB$ равен: $\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2})$. Угол $\angle SPQ$ четырехугольника $PQRS$ совпадает с углом $\angle APB$, так что $\angle P = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

2. Найдем угол при вершине R.
Точка $R$ является точкой пересечения биссектрис углов $C$ и $D$. Рассмотрим треугольник $CRD$. Аналогично предыдущему пункту, углы этого треугольника при вершинах $C$ и $D$ равны: $\angle RCD = \gamma/2$ и $\angle RDC = \delta/2$. Тогда угол при вершине $R$ в треугольнике $CRD$ равен: $\angle CRD = 180^\circ - (\angle RCD + \angle RDC) = 180^\circ - (\frac{\gamma}{2} + \frac{\delta}{2})$. Угол $\angle QRS$ четырехугольника $PQRS$ совпадает с углом $\angle CRD$, так что $\angle R = 180^\circ - \frac{\gamma + \delta}{2}$.

3. Найдем сумму противолежащих углов $\angle P$ и $\angle R$.
Сложим полученные выражения для углов $\angle P$ и $\angle R$: $\angle P + \angle R = \left(180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\right) + \left(180^\circ - \frac{\gamma + \delta}{2}\right)$ $\angle P + \angle R = 360^\circ - \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2}$

4. Завершение доказательства.
Мы знаем, что сумма углов выпуклого четырехугольника $ABCD$ равна $360^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$. Подставим это значение в выражение для суммы углов $\angle P$ и $\angle R$: $\angle P + \angle R = 360^\circ - \frac{360^\circ}{2} = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника $PQRS$ равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Аналогично можно показать, что $\angle Q + \angle S = 180^\circ$.

Ответ: Сумма противолежащих углов четырехугольника, образованного пересечением биссектрис, равна $180^\circ$, что является признаком вписанного четырехугольника. Следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.