Номер 4.48, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.48. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.

4.48. Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, в который можно вписать окружность. Нам нужно доказать, что $ABCD$ является ромбом.

Воспользуемся двумя основными свойствами: свойством параллелограмма и свойством описанного четырехугольника (четырехугольника, в который можно вписать окружность).

1. По определению, параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны. Для нашего параллелограмма $ABCD$ это означает:
$AB = CD$ и $BC = AD$.

2. Согласно свойству описанного четырехугольника (теорема Пи́то), если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашего четырехугольника $ABCD$ это означает:
$AB + CD = BC + AD$.

Теперь объединим эти два свойства. Подставим равенства из свойства параллелограмма ($CD = AB$ и $AD = BC$) в равенство из свойства описанного четырехугольника:
$AB + (AB) = BC + (BC)$
$2 \cdot AB = 2 \cdot BC$

Разделив обе части уравнения на 2, получаем:
$AB = BC$

Мы получили, что две смежные стороны параллелограмма равны. Так как в параллелограмме противоположные стороны также равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), то из равенства $AB = BC$ следует, что все стороны параллелограмма равны между собой:
$AB = BC = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Таким образом, мы доказали, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.

Ответ: Что и требовалось доказать.