Номер 4.41, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.41. Можно ли описать окружность около четырехугольника, если его углы, взятые в последовательном порядке, равны:

1) $90^\circ$, $90^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$;

2) $70^\circ$, $130^\circ$, $110^\circ$, $50^\circ$;

3) $45^\circ$, $75^\circ$, $135^\circ$, $105^\circ$?

Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась $180^\circ$. Это свойство вписанного четырехугольника. Проверим это условие для каждого из заданных наборов углов.

Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, это $\angle A, \angle B, \angle C$ и $\angle D$. Условие возможности описать окружность выглядит так: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Достаточно проверить только одну пару противолежащих углов, так как если их сумма равна $180^\circ$, то и сумма другой пары будет равна $180^\circ$, поскольку сумма всех углов четырехугольника равна $360^\circ$.

1)

Даны углы $90^\circ, 90^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Пусть $\angle A = 90^\circ, \angle B = 90^\circ, \angle C = 60^\circ, \angle D = 120^\circ$.

Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.

Так как $150^\circ \ne 180^\circ$, условие не выполняется.

Проверим вторую пару для полноты: $\angle B + \angle D = 90^\circ + 120^\circ = 210^\circ$. Эта сумма также не равна $180^\circ$.

Следовательно, около этого четырехугольника нельзя описать окружность.

Ответ: нельзя.

2)

Даны углы $70^\circ, 130^\circ, 110^\circ, 50^\circ$.

Пусть $\angle A = 70^\circ, \angle B = 130^\circ, \angle C = 110^\circ, \angle D = 50^\circ$.

Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$.

Условие выполняется. Найдем сумму второй пары: $\angle B + \angle D = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$.

Так как суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: можно.

3)

Даны углы $45^\circ, 75^\circ, 135^\circ, 105^\circ$.

Пусть $\angle A = 45^\circ, \angle B = 75^\circ, \angle C = 135^\circ, \angle D = 105^\circ$.

Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$.

Условие выполняется. Найдем сумму второй пары: $\angle B + \angle D = 75^\circ + 105^\circ = 180^\circ$.

Так как суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: можно.