Номер 4.36, страница 136 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.36. Даны две концентрические окружности и хорда большей окружности, касающаяся малой окружности. Покажите, что площадь круга, построенного на данной хорде как на диаметре, равна площади кольца, ограниченного данными концентрическими окружностями.

Для решения этой задачи введем обозначения и рассмотрим геометрическую конфигурацию.

Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Так как окружности концентрические, у них общий центр, который мы обозначим как точка $O$.

Пусть $AB$ — хорда большей окружности, которая касается меньшей окружности в точке $C$.

1. Найдем площадь кольца.

Площадь кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, равна разности площадей большего и меньшего кругов.

Площадь большего круга: $S_R = \pi R^2$.
Площадь меньшего круга: $S_r = \pi r^2$.
Площадь кольца: $S_{кольца} = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

2. Найдем площадь круга, построенного на хорде как на диаметре.

Пусть длина хорды $AB$ равна $L$. Диаметр нового круга равен $L$, следовательно, его радиус равен $L/2$.

Площадь этого круга: $S_{круга} = \pi (L/2)^2 = \frac{\pi L^2}{4}$.

Чтобы найти $L$, рассмотрим треугольник $OAC$. Так как $AB$ является касательной к меньшей окружности в точке $C$, радиус $OC$, проведенный в точку касания, перпендикулярен хорде $AB$. Следовательно, треугольник $OAC$ является прямоугольным с прямым углом $C$.

В этом треугольнике:
• гипотенуза $OA$ равна радиусу большей окружности, то есть $OA = R$;
• катет $OC$ равен радиусу меньшей окружности, то есть $OC = r$;
• катет $AC$ является половиной хорды $AB$ (так как в окружности радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам), то есть $AC = L/2$.

По теореме Пифагора для треугольника $OAC$:

$OA^2 = OC^2 + AC^2$

$R^2 = r^2 + (L/2)^2$

Выразим $(L/2)^2$:

$(L/2)^2 = R^2 - r^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади круга, построенного на хорде:

$S_{круга} = \pi (L/2)^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

3. Сравнение площадей.

Мы получили, что площадь кольца $S_{кольца} = \pi(R^2 - r^2)$ и площадь круга, построенного на хорде, $S_{круга} = \pi(R^2 - r^2)$.

Следовательно, $S_{круга} = S_{кольца}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь круга, построенного на данной хорде как на диаметре, равна $\pi(R^2 - r^2)$, и площадь кольца, ограниченного данными концентрическими окружностями, также равна $\pi(R^2 - r^2)$. Таким образом, их площади равны.