Номер 4.34, страница 136 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.34. Определите отношение площади сектора с центральным углом $60^\circ$ к площади вписанного в него круга.

Для решения задачи найдем площади сектора и вписанного в него круга, а затем определим их отношение.

1. Нахождение связи между радиусами.

Пусть $R$ — радиус сектора, а его центральный угол $\alpha = 60^\circ$. Пусть $r$ — радиус вписанного в сектор круга.

Вписанный круг касается двух радиусов сектора и его дуги. Центр вписанного круга (обозначим его $C$) всегда лежит на биссектрисе центрального угла сектора.

На рисунке $O$ — вершина сектора, $OA$ и $OB$ — его радиусы ($OA = R$). Линия $OC$ — биссектриса угла $\angle AOB$, поэтому угол $\angle AOC = \frac{1}{2}\alpha = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Проведем из центра вписанного круга $C$ перпендикуляр $CD$ к радиусу $OA$. Точка $D$ является точкой касания, и длина отрезка $CD$ равна радиусу вписанного круга $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODC$. В нем гипотенуза — это отрезок $OC$, а катет $CD$ лежит напротив угла $\angle DOC = 30^\circ$. Из тригонометрии мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{CD}{OC}$.

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} = \frac{r}{OC}$

Отсюда следует, что $OC = 2r$.

Вписанный круг также касается дуги сектора в точке $F$. Эта точка лежит на линии, соединяющей центры $O$ и $C$. Расстояние от вершины сектора $O$ до любой точки на дуге равно радиусу $R$. Таким образом, $OF = R$.

Длину отрезка $OF$ можно представить как сумму длин отрезков $OC$ и $CF$, где $CF$ — радиус вписанного круга, т.е. $CF = r$.

$R = OF = OC + CF = 2r + r = 3r$

Итак, мы установили, что радиус сектора в три раза больше радиуса вписанного в него круга: $R = 3r$.

2. Вычисление площадей и их отношения.

Площадь сектора ($S_{сектора}$) с углом $60^\circ$ составляет $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ от площади всего круга радиусом $R$: $S_{сектора} = \frac{1}{6} \pi R^2$

Площадь вписанного круга ($S_{круга}$) с радиусом $r$ вычисляется по формуле: $S_{круга} = \pi r^2$

Теперь найдем отношение площади сектора к площади вписанного круга: $\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{\frac{1}{6} \pi R^2}{\pi r^2} = \frac{R^2}{6r^2}$

Подставим в это выражение найденное соотношение $R = 3r$: $\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{(3r)^2}{6r^2} = \frac{9r^2}{6r^2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Таким образом, отношение площади сектора к площади вписанного в него круга равно $\frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.