Номер 4.28, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.28. Вычислите площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями, указанными в задаче 4.24.

Для вычисления площади кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями, необходимо найти радиусы этих окружностей. В задаче 4.24 указан равнобедренный треугольник со следующими параметрами:

• основание $a = 10$ см;
• боковая сторона $b = 13$ см.

Площадь кольца ($S_{кольца}$) вычисляется как разность площадей описанного ($S_R$) и вписанного ($S_r$) кругов:

$S_{кольца} = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$

где $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Ниже представлен ход решения.

Решение:

1. Найдем характеристики треугольника.

Высота $h$, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка по $a/2 = 10/2 = 5$ см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и половиной основания:

$h^2 + (a/2)^2 = b^2$

$h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь треугольника ($S_{\triangle}$):

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

Полупериметр треугольника ($p$):

$p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{10 + 13 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

2. Найдем радиусы вписанной и описанной окружностей.

Радиус вписанной окружности ($r$):

$r = \frac{S_{\triangle}}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

Радиус описанной окружности ($R$):

$R = \frac{abc}{4S_{\triangle}} = \frac{10 \cdot 13 \cdot 13}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24}$ см.

3. Вычислим площадь кольца.

Подставим найденные значения $R$ и $r$ в формулу площади кольца:

$S_{кольца} = \pi(R^2 - r^2) = \pi \left( \left(\frac{169}{24}\right)^2 - \left(\frac{10}{3}\right)^2 \right)$

$S_{кольца} = \pi \left( \frac{28561}{576} - \frac{100}{9} \right)$

Приведем дроби к общему знаменателю 576 ($9 \cdot 64 = 576$):

$S_{кольца} = \pi \left( \frac{28561}{576} - \frac{100 \cdot 64}{9 \cdot 64} \right) = \pi \left( \frac{28561 - 6400}{576} \right) = \pi \frac{22161}{576}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3:

$S_{кольца} = \pi \frac{22161 \div 3}{576 \div 3} = \pi \frac{7387}{192}$

Данная дробь является несократимой.

Ответ: $S_{кольца} = \frac{7387 \pi}{192}$ см².