Номер 4.33, страница 136 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.33. Определите площадь фигур, изображенных на рис.

4.11.

Фигура 1

Размер: $a$

Фигура 2

Размеры: $a$, $2a$

Фигура 3

Размер: $2a$

Рис. 4.11

а)

Заштрихованная фигура (криволинейный четырехлистник) находится внутри квадрата. Границы фигуры образованы четырьмя дугами окружностей, центры которых находятся в вершинах квадрата, а радиусы равны стороне квадрата.

Найдем сторону квадрата $s$. На рисунке указано расстояние от вершины квадрата до его центра, равное $a$. Это расстояние равно половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $s$ соотношением $d = s\sqrt{2}$.

Следовательно, $d = 2a$, откуда $s\sqrt{2} = 2a$.

$s = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$.

Площадь квадрата $S_{кв}$ равна:

$S_{кв} = s^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$.

Площадь заштрихованной фигуры можно найти, вычитая из площади квадрата площади четырех незаштрихованных угловых областей. Расчет площади такой фигуры является известной, но достаточно сложной задачей, решаемой, например, с помощью принципа включения-исключения. Площадь такой фигуры выражается через площадь квадрата $s^2$ по формуле:

$S_a = s^2 \left(1 + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}\right)$.

Подставим в эту формулу выражение для $s^2$:

$S_a = 2a^2 \left(1 + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}\right)$.

Ответ: $S_a = 2a^2\left(1 + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}\right)$.

б)

Заштрихованная фигура представляет собой "стадион" (прямоугольник с двумя полукругами на торцах), из которого вырезаны два круга.

На рисунке имеются обозначения, которые, вероятно, содержат опечатку (диаметр левого круга и радиус правого обозначены одной буквой $a$). Будем считать, что радиусы обоих вырезанных кругов равны $a$.

Расстояние между центрами вырезанных кругов равно $2a$. Это означает, что эти круги касаются друг друга.

Внешняя фигура состоит из центрального прямоугольника и двух полукругов по бокам. Ширина прямоугольника равна диаметру полукругов. Из чертежа видно, что ширина заштрихованной полосы постоянна, что означает, что внешние полукруги имеют тот же центр, что и внутренние круги. Также можно предположить, что высота всей фигуры (расстояние между параллельными прямыми участками) равна диаметру вырезанного круга, то есть $2a$.

При таких предположениях радиус внешних полукругов также равен $a$.

Площадь внешней фигуры $S_{внеш}$ складывается из площади прямоугольника со сторонами $2a \times 2a$ и площади двух полукругов радиусом $a$ (что равно площади одного целого круга радиусом $a$):

$S_{внеш} = (2a) \cdot (2a) + \pi a^2 = 4a^2 + \pi a^2$.

Площадь двух вырезанных кругов $S_{внутр}$ равна:

$S_{внутр} = 2 \cdot (\pi a^2) = 2\pi a^2$.

Площадь заштрихованной фигуры $S_б$ равна разности этих площадей:

$S_б = S_{внеш} - S_{внутр} = (4a^2 + \pi a^2) - 2\pi a^2 = 4a^2 - \pi a^2 = a^2(4 - \pi)$.

Ответ: $S_б = a^2(4 - \pi)$.

в)

Заштрихованная фигура на рисунке представляет собой полукруг. Треугольник, изображенный сверху, является дополнительным элементом и не заштрихован, поэтому его площадь не учитывается.

Основание фигуры, которое является диаметром полукруга, равно $2a$.

Следовательно, радиус полукруга $r$ равен:

$r = \frac{2a}{2} = a$.

Площадь целого круга с радиусом $a$ вычисляется по формуле $\pi a^2$. Площадь полукруга составляет половину площади круга.

$S_в = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi a^2$.

Ответ: $S_в = \frac{1}{2}\pi a^2$.