Номер 4.30, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.30. Решите предыдущую задачу при условии, что хорда соответствует центральному углу $ \alpha $ и радиус окружности равен $ R $.

Поскольку условие задачи 4.30 ссылается на предыдущую задачу (4.29), которая не предоставлена, будет представлено общее решение для нахождения всех основных величин, связанных с хордой в окружности. Рассмотрим окружность с центром в точке O и радиусом R. Хорда AB стягивает дугу, которой соответствует центральный угол $\angle AOB = \alpha$. Во всех формулах предполагается, что угол $\alpha$ измеряется в радианах.

Длина хорды

Рассмотрим равнобедренный треугольник AOB, в котором стороны OA и OB равны радиусу R, а угол между ними $\angle AOB = \alpha$. Длину хорды AB ($L_{хорды}$) можно найти по теореме косинусов:
$L_{хорды}^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos\alpha = 2R^2(1 - \cos\alpha)$
Применим формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:
$L_{хорды}^2 = 2R^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$
Извлекая квадратный корень, получаем длину хорды:
$L_{хорды} = 2R\sin(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $L_{хорды} = 2R\sin(\frac{\alpha}{2})$

Длина дуги

Длина дуги окружности ($L_{дуги}$), соответствующей центральному углу $\alpha$ (выраженному в радианах), вычисляется как произведение радиуса на величину этого угла.

Ответ: $L_{дуги} = R\alpha$

Площадь сектора

Площадь кругового сектора ($S_{сектора}$), ограниченного дугой AB и двумя радиусами OA и OB, пропорциональна центральному углу $\alpha$. Для угла в радианах формула имеет вид:

Ответ: $S_{сектора} = \frac{1}{2}R^2\alpha$

Площадь сегмента

Площадь кругового сегмента ($S_{сегмента}$) — это разность между площадью сектора и площадью треугольника AOB.
Площадь треугольника AOB вычисляется по формуле: $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin\alpha = \frac{1}{2}R^2\sin\alpha$.
Следовательно, площадь сегмента равна:
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}R^2\alpha - \frac{1}{2}R^2\sin\alpha = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)$

Ответ: $S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)$

Расстояние от центра до хорды

Расстояние от центра окружности O до хорды AB — это длина перпендикуляра OH, опущенного из центра на хорду. Этот перпендикуляр является также медианой и биссектрисой в равнобедренном треугольнике AOB. В прямоугольном треугольнике OHA ($\angle OHA = 90^\circ$) угол $\angle AOH = \frac{\alpha}{2}$. Расстояние $d=OH$ можно найти через косинус этого угла:
$d = OH = OA \cdot \cos(\angle AOH) = R\cos(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $d = R\cos(\frac{\alpha}{2})$