Номер 4.35, страница 136 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.35. В правильный $n$-угольник со стороной $a$ вписана окружность и около него описана окружность. Покажите, что площадь кольца, ограниченного этими окружностями, зависит от $n$.

Для нахождения площади кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями правильного n-угольника, нам необходимо найти радиусы этих окружностей. Обозначим радиус описанной окружности как $R$ и радиус вписанной окружности как $r$. Площадь кольца $S$ вычисляется как разность площадей большого и малого кругов:

$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$

Рассмотрим правильный n-угольник со стороной $a$. Пусть $O$ — его центр, $A$ — одна из вершин, а $M$ — середина стороны, к которой эта вершина прилегает. Треугольник $OAM$ является прямоугольным. Его гипотенуза $OA$ — это радиус описанной окружности $R$, один катет $OM$ — это радиус вписанной окружности $r$ (апофема), а второй катет $AM$ — это половина стороны многоугольника, то есть $a/2$.

Визуализация этого треугольника представлена на рисунке:

По теореме Пифагора для треугольника $OAM$ имеем:

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

$R^2 = r^2 + (a/2)^2$

Отсюда мы можем выразить разность квадратов радиусов:

$R^2 - r^2 = (a/2)^2 = a^2/4$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади кольца:

$S = \pi (R^2 - r^2) = \pi \frac{a^2}{4}$

Полученный результат показывает, что площадь кольца зависит только от длины стороны многоугольника $a$ и не зависит от числа его сторон $n$. Это противоречит условию задачи, в котором требуется показать, что площадь зависит от $n$.

Чтобы проанализировать это противоречие, выразим радиусы $R$ и $r$ через $a$ и $n$ напрямую. Центральный угол, стягиваемый одной стороной многоугольника, равен $2\pi/n$. Угол $\alpha$ в треугольнике $OAM$ при вершине $O$ ($\angle AOM$) равен половине этого угла, то есть $\alpha = \pi/n$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $OAM$ имеем:

$R = \frac{AM}{\sin(\alpha)} = \frac{a/2}{\sin(\pi/n)}$

$r = \frac{AM}{\tan(\alpha)} = \frac{a/2}{\tan(\pi/n)}$

Как видно из этих формул, и радиус описанной окружности $R$, и радиус вписанной окружности $r$ действительно зависят от $n$. Если подставить эти выражения в формулу для площади кольца, мы получим выражение, формально содержащее $n$:

$S = \pi \left( \left( \frac{a}{2\sin(\pi/n)} \right)^2 - \left( \frac{a}{2\tan(\pi/n)} \right)^2 \right) = \frac{\pi a^2}{4} \left( \frac{1}{\sin^2(\pi/n)} - \frac{1}{\tan^2(\pi/n)} \right)$

Однако, как было показано ранее с помощью теоремы Пифагора (и как следует из тригонометрических тождеств), это выражение упрощается, и зависимость от $n$ исчезает:

$\frac{1}{\sin^2(\pi/n)} - \frac{1}{\tan^2(\pi/n)} = \frac{1}{\sin^2(\pi/n)} - \frac{\cos^2(\pi/n)}{\sin^2(\pi/n)} = \frac{1 - \cos^2(\pi/n)}{\sin^2(\pi/n)} = \frac{\sin^2(\pi/n)}{\sin^2(\pi/n)} = 1$

Таким образом, несмотря на то, что радиусы $R$ и $r$ по отдельности зависят от $n$, площадь кольца $S = \pi a^2/4$ от $n$ не зависит. Условие задачи, по-видимому, содержит неточность или является задачей с подвохом.

Ответ: Площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями, определяется формулой $S = \pi \frac{a^2}{4}$. Эта площадь зависит только от длины стороны правильного n-угольника $a$ и, вопреки условию, не зависит от количества его сторон $n$.