Номер 4.29, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.29. Хорда, проведенная на расстоянии $h$ от центра окружности с радиусом $R$, делит круг на две части (сегменты). Найдите площадь этих частей ($h < R$).

Хорда, проведенная в круге радиуса $R$ на расстоянии $h$ от центра, делит круг на два круговых сегмента. Площадь любого сегмента можно найти как разность площади соответствующего ему сектора и площади треугольника, образованного радиусами, проведенными к концам хорды.

Пусть хорда — это $AB$, центр круга — $O$, а $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на хорду $AB$. Тогда по условию $OM = h$. Радиусы, проведенные к концам хорды, равны $R$, то есть $OA = OB = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔOMA$. В нем гипотенуза $OA = R$ и катет $OM = h$.

Площадь меньшего сегмента

Площадь меньшего сегмента $S_1$ равна разности площади сектора $AOB$ и площади треугольника $ΔAOB$.

$S_1 = S_{сектор AOB} - S_{ΔAOB}$

1. Найдем центральный угол $∠AOB$. Пусть половина этого угла $∠AOM = α$. Из треугольника $ΔOMA$ имеем:$\cos(α) = \frac{OM}{OA} = \frac{h}{R}$Отсюда $α = \arccos\left(\frac{h}{R}\right)$. Угол $α$ выражен в радианах.Полный центральный угол, стягиваемый хордой $AB$, равен $2α = 2\arccos\left(\frac{h}{R}\right)$.

2. Площадь сектора $AOB$ вычисляется по формуле $S_{сектор} = \frac{1}{2}R^2(2α) = R^2α$. Подставив значение $α$, получим:$S_{сектор AOB} = R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right)$

3. Площадь равнобедренного треугольника $ΔAOB$ равна $S_{ΔAOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OM$. Длину $AB$ найдем через $AM$. По теореме Пифагора в $ΔOMA$:$AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{R^2 - h^2}$Так как $M$ — середина хорды $AB$, то $AB = 2 \cdot AM = 2\sqrt{R^2 - h^2}$.Тогда площадь треугольника:$S_{ΔAOB} = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{R^2 - h^2}) \cdot h = h\sqrt{R^2 - h^2}$

4. Теперь найдем площадь меньшего сегмента:$S_1 = S_{сектор AOB} - S_{ΔAOB} = R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right) - h\sqrt{R^2 - h^2}$

Ответ: $R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right) - h\sqrt{R^2 - h^2}$

Площадь большего сегмента

Площадь большего сегмента $S_2$ можно найти, вычтя площадь меньшего сегмента $S_1$ из общей площади круга $S_{круга} = \pi R^2$.

$S_2 = S_{круга} - S_1$$S_2 = \pi R^2 - \left(R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right) - h\sqrt{R^2 - h^2}\right)$$S_2 = \pi R^2 - R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right) + h\sqrt{R^2 - h^2}$

Ответ: $\pi R^2 - R^2 \arccos\left(\frac{h}{R}\right) + h\sqrt{R^2 - h^2}$