Номер 4.24, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.24. Сторона правильного $n$-угольника равна $a$. Вычислите площадь описанного около него и вписанного в него круга, если $n=3; 4; 6$.

Для решения задачи найдём радиусы вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей для правильного $n$-угольника со стороной $a$. Затем вычислим площади соответствующих кругов по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром многоугольника O, вершиной A и серединой M стороны, прилежащей к этой вершине. В этом треугольнике:

• Катет OM равен радиусу вписанной окружности $r$.
• Катет AM равен половине стороны многоугольника, то есть $a/2$.
• Гипотенуза OA равна радиусу описанной окружности $R$.
• Угол AOM равен половине центрального угла, то есть $(360^\circ/n)/2 = 180^\circ/n$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике получаем:

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{AM}{\tan(\angle AOM)} = \frac{a/2}{\tan(180^\circ/n)}$.

Площадь вписанного круга: $S_{вписанного} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{a}{2\tan(180^\circ/n)} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\tan^2(180^\circ/n)}$.

Радиус описанной окружности: $R = \frac{AM}{\sin(\angle AOM)} = \frac{a/2}{\sin(180^\circ/n)}$.

Площадь описанного круга: $S_{описанного} = \pi R^2 = \pi \left( \frac{a}{2\sin(180^\circ/n)} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(180^\circ/n)}$.

Теперь применим эти формулы для конкретных значений $n$.

n=3 (правильный треугольник)

Угол $180^\circ/n = 180^\circ/3 = 60^\circ$.

Площадь вписанного круга:

$S_{вписанного} = \frac{\pi a^2}{4\tan^2(60^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(\sqrt{3})^2} = \frac{\pi a^2}{12}$.

Площадь описанного круга:

$S_{описанного} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(60^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{\pi a^2}{4(3/4)} = \frac{\pi a^2}{3}$.

Ответ: площадь описанного круга $S_{описанного} = \frac{\pi a^2}{3}$, площадь вписанного круга $S_{вписанного} = \frac{\pi a^2}{12}$.

n=4 (квадрат)

Угол $180^\circ/n = 180^\circ/4 = 45^\circ$.

Площадь вписанного круга:

$S_{вписанного} = \frac{\pi a^2}{4\tan^2(45^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(1)^2} = \frac{\pi a^2}{4}$.

Площадь описанного круга:

$S_{описанного} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(45^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(1/\sqrt{2})^2} = \frac{\pi a^2}{4(1/2)} = \frac{\pi a^2}{2}$.

Ответ: площадь описанного круга $S_{описанного} = \frac{\pi a^2}{2}$, площадь вписанного круга $S_{вписанного} = \frac{\pi a^2}{4}$.

n=6 (правильный шестиугольник)

Угол $180^\circ/n = 180^\circ/6 = 30^\circ$.

Площадь вписанного круга:

$S_{вписанного} = \frac{\pi a^2}{4\tan^2(30^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(1/\sqrt{3})^2} = \frac{\pi a^2}{4(1/3)} = \frac{3\pi a^2}{4}$.

Площадь описанного круга:

$S_{описанного} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(30^\circ)} = \frac{\pi a^2}{4(1/2)^2} = \frac{\pi a^2}{4(1/4)} = \pi a^2$.

Ответ: площадь описанного круга $S_{описанного} = \pi a^2$, площадь вписанного круга $S_{вписанного} = \frac{3\pi a^2}{4}$.