Номер 4.19, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.19. Точки A, B и C лежат на окружности радиусом R, а длина дуги ABC равна $0,5\pi R$. Под каким углом должен быть виден отрезок AC из точки D, лежащей на данной окружности?

Пусть $R$ — радиус окружности, а $O$ — её центр. Длина дуги окружности $L$ связана с её радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (выраженным в радианах), на который эта дуга опирается, следующей формулой:

$L = R \cdot \alpha$

По условию задачи, нам дана длина дуги $ABC$, которая равна $L_{ABC} = 0,5\pi R$. Эта дуга соединяет точки $A$ и $C$. Центральный угол $\angle AOC$, соответствующий этой дуге, можно найти из формулы:

$\alpha = \angle AOC = \frac{L_{ABC}}{R} = \frac{0,5\pi R}{R} = 0,5\pi$ радиан.

Для удобства дальнейших вычислений переведем эту величину в градусы, зная, что $\pi$ радиан равно $180^\circ$:

$\angle AOC = 0,5\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 90^\circ$.

Угол, под которым виден отрезок $AC$ из точки $D$, лежащей на окружности, является вписанным углом $\angle ADC$. Величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Положение точки $D$ на окружности определяет, на какую из двух дуг, стягиваемых хордой $AC$, будет опираться угол $\angle ADC$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $D$:

1. Точка D лежит на большей дуге AC (та, что не содержит точку B). В этом случае вписанный угол $\angle ADC$ опирается на меньшую дугу $AC$, угловая мера которой равна центральному углу $\angle AOC = 90^\circ$. Следовательно, величина угла $\angle ADC$ равна:

$\angle ADC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

2. Точка D (на рисунке обозначена как D') лежит на меньшей дуге AC (то есть на дуге $ABC$). В этом случае вписанный угол $\angle AD'C$ опирается на большую дугу $AC$. Угловая мера большей дуги равна разности полной окружности и меньшей дуги:

$360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Следовательно, величина угла $\angle AD'C$ равна:

$\angle AD'C = \frac{1}{2} \cdot 270^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, в зависимости от расположения точки $D$ на окружности, отрезок $AC$ может быть виден под двумя разными углами.

Ответ: Отрезок $AC$ может быть виден из точки $D$ под углом $45^\circ$ или $135^\circ$.