Номер 4.16, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.16. Найдите длину дуги, по которой проходит конец минутной стрелки часов до совпадения с часовой стрелкой, начиная с 15.00 ч.

Для решения задачи определим угловые скорости движения часовой и минутной стрелок, их начальные положения в 15:00, а затем найдем время, через которое они совпадут.

Полный оборот стрелок составляет $2\pi$ радиан. Минутная стрелка совершает полный оборот за 60 минут, следовательно, её угловая скорость $ \omega_м = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30} $ рад/мин. Часовая стрелка совершает полный оборот за 12 часов (720 минут), поэтому её угловая скорость $ \omega_ч = \frac{2\pi}{720} = \frac{\pi}{360} $ рад/мин.

В 15:00 (или 3:00) минутная стрелка находится на отметке '12', что соответствует углу $ \alpha_м(0) = 0 $ радиан, если отсчитывать от '12' по часовой стрелке. Часовая стрелка находится на отметке '3', что составляет четверть полного круга, то есть её начальный угол $ \alpha_ч(0) = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2} $ радиан.

Пусть $ t $ — время в минутах, прошедшее с 15:00. Угловое положение минутной стрелки в момент времени $ t $ будет $ \alpha_м(t) = \omega_м t = \frac{\pi t}{30} $. Положение часовой стрелки будет $ \alpha_ч(t) = \alpha_ч(0) + \omega_ч t = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi t}{360} $.

Стрелки совпадут, когда их угловые положения станут равными: $ \alpha_м(t) = \alpha_ч(t) $. Составим и решим уравнение:

$ \frac{\pi t}{30} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi t}{360} $

Сократив на $ \pi $, получим:

$ \frac{t}{30} = \frac{1}{2} + \frac{t}{360} $

$ \frac{t}{30} - \frac{t}{360} = \frac{1}{2} $

$ \frac{12t - t}{360} = \frac{1}{2} $

$ \frac{11t}{360} = \frac{1}{2} $

$ 11t = 180 \implies t = \frac{180}{11} $ минут.

За это время конец минутной стрелки пройдет дугу. Угол, на который повернется минутная стрелка, равен $ \phi_м = \omega_м \cdot t $.

$ \phi_м = \frac{\pi}{30} \cdot \frac{180}{11} = \frac{6\pi}{11} $ радиан.

Длина дуги $ L $ вычисляется по формуле $ L = \phi \cdot R $, где $ \phi $ — угол поворота в радианах, а $ R $ — радиус (длина стрелки). Поскольку длина минутной стрелки в условии не задана, выразим ответ через $ R $.

$ L = \frac{6\pi}{11} R $

Ответ: Длина дуги, по которой проходит конец минутной стрелки, равна $ \frac{6\pi}{11}R $, где $ R $ — длина минутной стрелки.