Номер 4.14, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.14. Фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями, называется кольцом, а разность радиусов данных окружностей – шириной этого кольца.

1) Выразите ширину кольца через длины окружностей.

2) Радиусы окружностей кольца равны 26 см и 10 см. Найдите длину наибольшего отрезка, который целиком можно поместить в данное кольцо.

1) Выразите ширину кольца через длины окружностей.

Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Тогда длины этих окружностей равны $C_R = 2\pi R$ и $C_r = 2\pi r$ соответственно.

Ширина кольца $w$ по определению равна разности радиусов:

$w = R - r$

Выразим радиусы через длины окружностей:

$R = \frac{C_R}{2\pi}$

$r = \frac{C_r}{2\pi}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для ширины кольца:

$w = \frac{C_R}{2\pi} - \frac{C_r}{2\pi} = \frac{C_R - C_r}{2\pi}$

Таким образом, ширина кольца равна разности длин его окружностей, деленной на $2\pi$.

Ответ: $w = \frac{C_R - C_r}{2\pi}$, где $w$ — ширина кольца, $C_R$ и $C_r$ — длины большей и меньшей окружностей соответственно.

2) Радиусы окружностей кольца равны 26 см и 10 см. Найдите длину наибольшего отрезка, который целиком можно поместить в данное кольцо.

Наибольший отрезок, который можно целиком поместить в кольцо, — это хорда большей окружности, которая касается меньшей окружности.

Пусть $R = 26$ см — радиус большей окружности, а $r = 10$ см — радиус меньшей окружности. Пусть центр обеих окружностей — точка $O$.

Рассмотрим хорду $AB$ большей окружности, которая касается меньшей окружности в точке $M$.

Отрезок $OA$ является радиусом большей окружности ($OA = R = 26$ см). Отрезок $OM$ является радиусом меньшей окружности и перпендикулярен касательной $AB$ ($OM = r = 10$ см).

Таким образом, треугольник $\triangle OMA$ является прямоугольным с гипотенузой $OA$ и катетами $OM$ и $AM$.

По теореме Пифагора:

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

$R^2 = r^2 + AM^2$

Отсюда можем найти длину катета $AM$:

$AM^2 = R^2 - r^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$

$AM = \sqrt{576} = 24$ см.

Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, следовательно, точка $M$ является серединой хорды $AB$. Длина всей хорды $AB$ равна:

$AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 24 = 48$ см.

Ответ: 48 см.