Номер 4.12, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.12. На рисунке 4.5 радиусы малых окружностей равны $r$ (они одинаковые), а радиус большой окружности равен $R$. Выразите $r$ через $R$.

Задача содержит два случая расположения малых окружностей внутри большой. Решим задачу для каждого случая отдельно.

Для левого рисунка (три малые окружности)

Пусть $O$ — центр большой окружности, а $R$ — её радиус. Пусть $O_1, O_2, O_3$ — центры малых окружностей, а $r$ — их радиус. Поскольку три малые окружности одинаковы и касаются друг друга, их центры $O_1, O_2, O_3$ образуют равносторонний треугольник со стороной, равной $2r$. Из соображений симметрии, центр большой окружности $O$ совпадает с центром (центроидом) этого треугольника. Рассмотрим геометрическую конструкцию, состоящую из центров окружностей: Расстояние от центра равностороннего треугольника до его вершины вычисляется по формуле $d = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ — длина стороны треугольника. В нашем случае $a = 2r$, следовательно, расстояние от $O$ до $O_1$ равно $OO_1 = \frac{2r}{\sqrt{3}}$. Радиус большой окружности $R$ складывается из расстояния $OO_1$ и радиуса малой окружности $r$, так как точка касания $T$ лежит на прямой, проходящей через центры $O$ и $O_1$. Таким образом, получаем уравнение: $R = OO_1 + r = \frac{2r}{\sqrt{3}} + r$. Вынесем $r$ за скобки, чтобы выразить его через $R$: $R = r \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 \right) = r \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)$. Отсюда находим $r$: $r = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$. Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{3})$: $r = R \cdot \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = R \cdot \frac{2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = R(2\sqrt{3} - 3)$.

Ответ: $r = R(2\sqrt{3} - 3)$.

Для правого рисунка (четыре малые окружности)

В этом случае центры четырех малых окружностей $O_1, O_2, O_3, O_4$ образуют квадрат со стороной $2r$. Центр большой окружности $O$ совпадает с центром этого квадрата. Рассмотрим геометрическую конструкцию, образованную центрами: Расстояние от центра квадрата $O$ до одной из его вершин, например $O_1$, равно половине длины диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $2r$ равна $(2r)\sqrt{2}$. Тогда расстояние $OO_1 = \frac{(2r)\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$. Также это расстояние можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $r$, образованного центром $O$, вершиной $O_1$ и проекцией $O_1$ на ось. $OO_1 = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$. Радиус большой окружности $R$ равен сумме расстояния $OO_1$ и радиуса малой окружности $r$. $R = OO_1 + r = r\sqrt{2} + r$. Вынесем $r$ за скобки: $R = r(\sqrt{2} + 1)$. Выразим $r$ через $R$: $r = \frac{R}{\sqrt{2} + 1}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $r = R \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = R \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = R(\sqrt{2} - 1)$.

Ответ: $r = R(\sqrt{2} - 1)$.