Номер 4.18, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.18. Найдите длину кривой, выделенной жирной линией (рис. 4.7).

Рис. 4.7

1. Рассмотрим фигуру 1. Она представляет собой цветок с шестью лепестками, вписанный в окружность. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Фигура построена следующим образом. На окружности радиуса $R$ с центром в точке $O$ выбираются шесть точек $A_1, A_2, \dots, A_6$, которые являются вершинами правильного шестиугольника. Каждый лепесток, например, с вершиной в точке $A_1$, образован двумя дугами окружностей. Эти дуги соединяют центр $O$ и точку $A_1$. Центрами этих дуг являются соседние вершины шестиугольника, то есть $A_2$ и $A_6$.

Выделим один лепесток, например, с вершиной в $A_1$. Он состоит из двух дуг: дуги $OA_1$ с центром в $A_2$ и дуги $OA_1$ с центром в $A_6$. Рассмотрим треугольник $\triangle OA_1A_2$. Так как $O$ — центр описанной окружности, а $A_1$ и $A_2$ — соседние вершины правильного шестиугольника, то стороны этого треугольника равны радиусу окружности: $OA_1 = OA_2 = A_1A_2 = R$. Следовательно, треугольник $\triangle OA_1A_2$ является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$ или $\pi/3$ радиан.

Длина дуги окружности вычисляется по формуле $L = r \cdot \theta$, где $r$ — радиус дуги, а $\theta$ — центральный угол в радианах.

Для дуги $OA_1$ с центром в $A_2$ радиус равен $r = A_2O = R$, а центральный угол равен $\angle OA_2A_1 = 60^\circ = \pi/3$. Длина этой дуги: $L_{\text{дуги}} = R \cdot \frac{\pi}{3}$.

Весь выделенный контур состоит из 6 лепестков, каждый из которых состоит из 2 таких дуг. Таким образом, общая длина кривой равна длине 12 одинаковых дуг.

$L_{\text{общая}} = 12 \cdot L_{\text{дуги}} = 12 \cdot R \frac{\pi}{3} = 4\pi R$.

Ответ: $4\pi R$, где $R$ — радиус внешней окружности.

2. Рассмотрим фигуру 2. Она представляет собой криволинейный четырехугольник, вписанный в квадрат. Обозначим сторону квадрата как $a$.

Выделенная жирной линией фигура является границей пересечения четырех кругов. Каждый круг имеет радиус, равный стороне квадрата $a$, и его центр находится в одной из вершин квадрата.

Фигура симметрична и состоит из четырех одинаковых дуг. Найдем длину одной такой дуги и умножим ее на 4.

Рассмотрим дугу в правом верхнем углу фигуры. Ее центр находится в противоположной, то есть левой нижней, вершине квадрата. Радиус этой дуги равен стороне квадрата $a$.

Чтобы найти длину дуги, нам нужно определить ее центральный угол. Для этого найдем координаты ее конечных точек. Пусть вершины квадрата расположены в точках $D(0,0)$, $C(a,0)$, $B(a,a)$ и $A(0,a)$.

Вершины внутренней фигуры являются точками пересечения дуг, образующих ее границу. Правая верхняя вершина внутренней фигуры — это точка пересечения дуги с центром в $A(0,a)$ и дуги с центром в $D(0,0)$. Однако из геометрии фигуры видно, что дуги, образующие границу, имеют центры в противоположных вершинах. Правая верхняя дуга имеет центр в $D(0,0)$. Ее конечные точки — это верхняя и правая вершины фигуры.

Верхняя вершина фигуры — это точка пересечения дуг с центрами в $C(a,0)$ и $D(0,0)$. Их уравнения: $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ и $x^2 + y^2 = a^2$. Решая систему, получаем $x=a/2$ и $y=a\sqrt{3}/2$. Итак, верхняя вершина: $V_{\text{в}} = (a/2, a\sqrt{3}/2)$.

Правая вершина фигуры — это точка пересечения дуг с центрами в $D(0,0)$ и $A(0,a)$. Их уравнения: $x^2 + y^2 = a^2$ и $x^2 + (y-a)^2 = a^2$. Решая, получаем $x=a\sqrt{3}/2$ и $y=a/2$. Итак, правая вершина: $V_{\text{п}} = (a\sqrt{3}/2, a/2)$.

Теперь найдем центральный угол $\theta$ дуги $V_{\text{в}}V_{\text{п}}$, центр которой находится в точке $D(0,0)$. Угол между векторами $DV_{\text{в}}$ и $DV_{\text{п}}$ можно найти, определив углы, которые они образуют с осью Ox.

Для вектора $DV_{\text{в}} = (a/2, a\sqrt{3}/2)$ угол $\alpha_1$ с осью Ox определяется из $\cos \alpha_1 = \frac{a/2}{a} = 1/2$ и $\sin \alpha_1 = \frac{a\sqrt{3}/2}{a} = \sqrt{3}/2$. Следовательно, $\alpha_1 = 60^\circ$.

Для вектора $DV_{\text{п}} = (a\sqrt{3}/2, a/2)$ угол $\alpha_2$ с осью Ox определяется из $\cos \alpha_2 = \frac{a\sqrt{3}/2}{a} = \sqrt{3}/2$ и $\sin \alpha_2 = \frac{a/2}{a} = 1/2$. Следовательно, $\alpha_2 = 30^\circ$.

Центральный угол дуги $\theta = \alpha_1 - \alpha_2 = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$, что в радианах составляет $\pi/6$.

Длина одной дуги $L_{\text{дуги}} = r \cdot \theta = a \cdot \frac{\pi}{6}$.

Общая длина кривой состоит из четырех таких дуг: $L_{\text{общая}} = 4 \cdot L_{\text{дуги}} = 4 \cdot \frac{a\pi}{6} = \frac{2a\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi a}{3}$, где $a$ — сторона квадрата.