Номер 4.15, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.15. Найдите длину окружности, вписанную в:

1) прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим острым углом $\varphi$;

2) равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$;

3) ромб с диагоналями, равными $a$ и $b$.

1) Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $x, y$ и гипотенузой $z$. По условию, один из катетов равен $a$, а противолежащий ему острый угол равен $\phi$. Пусть $x=a$.
Тогда второй катет $y$ можно найти через тангенс угла $\phi$:
$\tan \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{x}{y} = \frac{a}{y}$, откуда $y = \frac{a}{\tan \phi} = a \cot \phi$.
Гипотенузу $z$ найдем через синус угла $\phi$:
$\sin \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{z} = \frac{a}{z}$, откуда $z = \frac{a}{\sin \phi}$.
Радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности находится по формуле:
$r = \frac{x+y-z}{2}$
Подставим найденные выражения для сторон:
$r = \frac{a + a \cot \phi - \frac{a}{\sin \phi}}{2} = \frac{a}{2} \left(1 + \cot \phi - \frac{1}{\sin \phi}\right) = \frac{a}{2} \left(1 + \frac{\cos \phi}{\sin \phi} - \frac{1}{\sin \phi}\right) = \frac{a}{2} \frac{\sin \phi + \cos \phi - 1}{\sin \phi}$.
Длина вписанной окружности $L$ равна $2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot \frac{a}{2} \frac{\sin \phi + \cos \phi - 1}{\sin \phi} = \pi a \frac{\sin \phi + \cos \phi - 1}{\sin \phi}$.
Ответ: $L = \pi a \frac{\sin \phi + \cos \phi - 1}{\sin \phi}$

2) Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$. В таком треугольнике катеты равны, обозначим их $a$. Углы при гипотенузе равны $45^\circ$.
По теореме Пифагора:
$a^2 + a^2 = c^2 \implies 2a^2 = c^2 \implies a = \frac{c}{\sqrt{2}}$.
Радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности находится по формуле:
$r = \frac{\text{сумма катетов} - \text{гипотенуза}}{2} = \frac{a+a-c}{2} = \frac{2a-c}{2}$.
Подставим выражение для катета $a$:
$r = \frac{2 \cdot \frac{c}{\sqrt{2}} - c}{2} = \frac{\sqrt{2}c - c}{2} = \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2}$.
Длина вписанной окружности $L$ равна $2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2} = \pi c (\sqrt{2}-1)$.
Ответ: $L = \pi c (\sqrt{2}-1)$

3) Дан ромб с диагоналями $d_1 = a$ и $d_2 = b$. В любой ромб можно вписать окружность. Диаметр этой окружности равен высоте ромба $h$, а радиус $r = h/2$.
Площадь ромба $S$ можно вычислить двумя способами:
1. Через диагонали: $S = \frac{d_1 d_2}{2} = \frac{ab}{2}$.
2. Через сторону и высоту: $S = s \cdot h$.
Сторону ромба $s$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей (они являются катетами, а сторона ромба — гипотенузой):
$s^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$.
$s = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$.
Приравняем два выражения для площади, чтобы найти высоту $h$:
$\frac{ab}{2} = s \cdot h = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \cdot h$.
$h = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2} = \frac{ab}{2\sqrt{a^2+b^2}}$.
Длина вписанной окружности $L$ равна $2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot \frac{ab}{2\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{\pi ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Ответ: $L = \frac{\pi ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$